2.3. Дослідження одного типу нелінійного сингулярно збуреного процесу трикомпонентної конвективної дифузії з урахуванням малого масообміну та утворення речовини, що випадає в осад.
Розглянемо модельну задачу типу
„конвекція-дифузія-масообмін” для
області
,
де
(
)
– двозв’язна криволінійна область
(пористий пласт), обмежена двома замкненими
гладкими контурами
– внутрішній та
–
зовнішній (рис. 4, а):
, (2.3.1)
, (2.3.2)
,
,
,
, (2.3.3)
, , , . (2.3.4)
Тут
– відповідно концентрації трьох сортів
розчинних речовин фільтраційної течії
в точці
в момент часу
,
– концентрація речовини і-того сорту
в точці
у момент часу
,
яка випадає в осад в наслідок хімічної
взаємодії речовин
,
та
,
,
,
,
–
біжуча точка відповідної кривої,
,
,
де
,
– задані додатні дійсні числа,
(
)–
малий параметр (характеризує переваги
одних складових процесу над іншими),
– відповідно потенціал та компоненти
його швидкості (швидкості фільтрації
в пористому середовищі
),
,
,
,
(
)–
достатньо гладкі функції, узгоджені
між собою на ребрах області
,
– концентрація осаду в точці
у момент часу
.
а) б)
Рис. 4. Фізична двозв’язна область (а) та відповідна їй область комплексного потенціалу (б).
Дана модель описує процес поширення частинок трьох сортів забруднюючої речовини у фільтраційному середовищі. Причому кожна з речовин втрачає (наприклад, під дією певної хімічної реакції) свої частинки при взаємодії з речовинами іншого сорту, внаслідок чого утворюється речовина , яка випадає в осад.
Вважаємо, що задача фільтрації (2.3.4) є розв’язаною. Зокрема, відомим є поле швидкості. Здійснивши заміну змінних , у рівняннях (2.3.1), (2.3.2) та умовах (2.3.3), приходимо до відповідної задачі для області (рис. 4, б):
, (2.3.5)
(2.3.6)
,
,
,
, (2.3.7)
.
Розв’язок
задачі (2.3.5) - (2.3.7)
знаходимо з точністю у
вигляді асимптотичних рядів:
, (2.3.8)
де
– залишкові члени,
,
(
)
– члени відповідних регулярних частин
асимптотики, зокрема:
– розв’язок відповідної виродженої
задачі (конвективного переносу);
– відповідні поправки, що враховують
“вклад” дифузії всюди в даній області
(за виключенням деякої її приграничної
зони),
,
(
)
– функції типу пограншару в околі
(відповідні поправки на виході
фільтраційного потоку із області
),
– відповідне регуляризуюче перетворення
(змінна розтягу),
.
Після
підстановки (2.3.8) в (2.3.5)
та застосування процедури прирівнювання
коефіцієнтів при однакових степенях
,
для знаходження функцій
(
,
)
приходимо до таких задач:
(2.3.9)
,
,
,
,
,
.
У результаті їх розв’язання маємо:
де – час проходження виділеної частинки вздовж лінії течії від еквіпотенціальної лінії до еквіпотенціальної лінії , – функція обернена до функції стосовно змінної .
Функції
,
призначені для усунення неузгодженостей,
внесених побудованими регулярними
частинами
в околі ділянки
(виходу фільтраційної течії). Ці функції
знаходимо в результаті розв’язку
наступних задач:
,
,
,
,
де
,
,
,
,
,
.
Розв'язки записаних вище звичайних диференціальних рівнянь отримуємо у явному вигляді. Так зокрема, матимемо:
,
,
Для оцінки залишкових членів маємо задачу:
,
.
Тут
–
відома функція, що є сумою добутків
членів ряду (2.3.8), їх
частинних похідних, а також коефіцієнти
при
розкладу функції
в ряд Тейлора в околі
.
Вимагаючи достатньої гладкості коефіцієнтів системи рівнянь (2.3.1), та початкової і граничних умов (існування неперервних частинних похідних до четвертого порядку включно), а також узгодженості останніх вздовж ребер , області , де – фіксований проміжок часу, на основі принципу максимуму для параболічних рівнянь приходимо до справедливості такого твердження: ( , ).
Знайшовши розв’язок
,
легко знаходимо концентрацію осаду
в точці
у момент часу
за формулою:
.
Наведемо
результати розрахунку розглянутого
вище процесу типу “конвекція-дифузія-масообмін”
на ідеальному плоско паралельному
фільтраційному фоні, породженому двома
особливими точками
та
(відповідно витік та втік однакових
інтенсивностей
),
комплексний потенціал якого –
,
при
,
,
,
.
На рис.5 а), б) зображено рівномірну сітку
області комплексного потенціалу
та відповідну динамічну сітку в
:
,
,
,
,
величину швидкості фільтрації
у вузлах
,
та лінії фронту конвективного переносу
,
при
,
,
,
,
(криві 1-4 відповідно).
а) б)
Рис.5.
Фізична область
(а)
та поле швидкостей
над відповідною їй областю комплексного
потенціалу
(б)
Розподіли
концентрацій
(
)
розчинних речовин при
,
,
,
,
,
,
,
,
,
зображено
на рис. 6.
а)
б)
в)
Рис.6. Вплив дифузійних поправок на розподіл концентрації забруднюючих речовин
Так на
рис. 6 а) зображено регулярні частини
,
,
на рис. 6 б) та на рис. 6 в) – відповідно
регулярні частини
,
та
,
(криві
та
відповідно в моменти часу
,
,
вздовж лінії течії
)
розв’язку поставленої задачі при
.
ВИСНОВКИ
У роботі розглянуто питання побудови та розв’язку математичних моделей процесів конвективної дифузії за умов малого масообміну, зокрема, з урахуванням утворення речовин що випадають в осад.
Розглянуто методику побудови асимптотичного наближення розв’язку сингулярно збуреної задачі конвективної дифузії за умов малого масообміну для двозв’язної області, а також розв’язку сингулярно збуреної задачі конвективної гетеродифузії.
Знайдено розв’язок нелінійної сингулярно збуреної крайової задачі для системи нелінійних рівнянь трикомпонентної конвективної дифузії. Проведено дослідження нелінійного сингулярно збуреного процесу трикомпонентної конвективної дифузії з урахуванням малого масообміну та утворення речовини, що випадає в осад. Побудовано асимптотичне наближення розв’язку відповідної задачі з точністю . Розроблено відповідний алгоритм, який реалізовано в програмі. З допомогою програми проведено числові обрахунки. На основі проведених числових досліджень зроблено висновок про відносно значний вплив дифузії та масообміну на розподіл концентрації забруднюючої речовини (з часом цей вплив зростає).