Задача 3

По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y, млн.руб.) от величины доходов по кредитам (X1, млн.руб.), доходов по депозитам (X2, млн.руб.) и размера внутрибанковских расходов (X3, млн.руб.).

Y	32	40	44	28	50	56	50	56	60	62
X1	22	30	20	32	44	34	52	56	66	68
X2	56	48	52	58	66	62	48	66	70	68
X3	64	68	82	76	84	96	100	104	108	102

Требуется:

1. Осуществить выбор факторных признаков для построения многофакторной регрессионной модели.

2. Рассчитать параметры регрессионной модели. Оценить ее качество.

3. Для характеристики модели определить:

• средние коэффициенты эластичности;

• бета-коэффициенты,

• дельта-коэффициенты.

4. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

5. Построить регрессионную модель со статистически значимыми факторами. Оценить ее качество.

6. Определить точечный и интервальный прогноз результативного показателя.

Решение

I. Выбор факторных признаков для построения модели осуществляется с помощью матрицы коэффициентов парной корреляции. Для её построения необходимо:

• выбрать Сервис->Анализ данных->Корреляция

• заполнить необходимые поля диалогового меню (рисунок 24)

Рис.24. Ввод параметров инструмента «Корреляция»

Результаты представлены на рисунке 25.

Рис.25. Таблица коэффициентов парных корреляций

Для выявления явления мультиколлинеарности необходимо проанализировать коэффициенты парной корреляции между факторными признаками. Если имеют место коэффициенты, значение которых по модулю больше 0,8, то, следовательно, мультиколлинеарность присутствует, и это явление необходимо устранять. Если же значения коэффициентов парной корреляции между факторными признаками, взятые по модулю, меньше величины 0,8, то явление мультиколлинеарности отсутствует, и, следовательно, все факторные признаки можно включать в модель множественной регрессии.

Так как , т.е. между факторными признаками X1 и X3 существует явление мультиколлинеарности, то для построения модели выбираем тот факторный признак, который оказывает большее влияние на результативный признак (фактор, для которого коэффициент парной корреляции с результативным признаком, взятый по модулю, является большим).

Следовательно, фактор X3 оказывает большее влияние на результативный признак (Y) и этот фактор рекомендуется в модели оставить. Фактор X1 оказывает меньшее влияние на результативный признак (Y) и этот фактор рекомендуется из модели исключить.

Таким образом, для построения модели множественной регрессии выбираются два факторных признака - Х2 (величина доходов по депозитам) и Х3 (величина внутрибанковских расходов).

II. Расчет параметров регрессионной модели можно осуществить с помощью инструмента анализа данных Регрессия (см. задача 2), отличие заключается в том, что в качестве диапазона значений фактора X необходимо указать диапазон значений факторов X2 и X3 (рисунок 26).

Рис.26. Ввод параметров регрессии

Результаты построение множественной регрессии представлены на рисунке 27.

Рис.27. Вывод итогов регрессии

На основании полученных данных можно записать уравнение множественной регрессии

Y=-16,2872 + 0,197247*X2 + 0,592429*X3

Оценим качество построенной модели множественной регрессии по следующим направлениям:

• Коэффициент детерминации = 0.794176 достаточно близок к 1, следовательно, качество модели можно признать высоким.

• Критерий Фишера F = 13,50486 > Fтабл = 4,74 , следовательно, уравнение регрессии признается статистически значимым и может быть использовано для анализа и прогнозирования экономических процессов.

Для вычисления Fтабл необходимо определить:

- степень свободы числителя m=2 (число факторных признаков);

- степень свободы знаменателя n-m-1=10-2-1=7;

- уровень значимости =0,05.

III. Оценим качество построенной модели множественной регрессии с помощью коэффициентов эластичности,  - и  - коэффициентов.

Коэффициент эластичности определяется:

, (1)

где - среднее значение соответствующего факторного признака,

- среднее значение результативного признака.

b_i – коэффициенты регрессии соответствующих факторных признаков.

ß-коэффициент определяется по следующей формуле:

, (2)

где - среднеквадратическое отклонение (СКО) соответствующего факторного признака (рассчитывается как корень квадратный из дисперсии признака),

- СКО результативного признака.

∆-коэффициент определяется по следующей формуле:

, (3)

где - коэффициент парной корреляции результативного и соответствующего факторного признаков,

- коэффициент детерминации.

На рисунке 28 представлены формулы расчетов описанных выше коэффициентов

Рис.28. Формулы расчетов коэффициентов

Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Таблица 2

Результаты расчета бета-, дельта- и коэффициентов эластичности

	Y	X2	X3
	32	56	64
	40	48	68
	44	52	82
	28	58	76
	50	66	84
	56	62	96
	50	48	100
	56	66	104
	60	70	108
	62	68	102
Ср.знач	47,8	59,4	88,4
Эласт.		0,245114	0,881663
Дисп	134,6222	67,6	247,8222
СКО	11,60268	8,221922	15,74237
bi		0,197247	0,592429
		0,139774	0,803801
		0,599604	0,883761
		0,105529	0,894471

Выводы:

• Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится среднее значение результативного признака, если среднее значение конкретного факторного признака изменится на 1 %, т.е., при увеличении на 1% величины доходов по депозитным операциям (Х2) прибыль банка увеличится на 0,245 % (Э2 = 0,245), при увеличении на 1% размера внутрибанковских расходов (X3) объём прибыли увеличится на 0,88% (Э3 =0,881).

• β-коэффициент показывает, на какую величину изменится СКО результативного признака, если СКО конкретного факторного признака изменится на 1 единицу, т.е. при увеличении на 1 единицу СКО доходов по депозитам (X2), СКО объёма прибыли увеличится на 0,14 ( =0,139774); при увеличении на 1 единицу СКО внутрибанковских расходов СКО прибыли организации увеличится на 0,804 единицы ( = 0,803801 ).

• ∆-коэффициент показывает удельный вес влияния конкретного факторного признака в совместном влиянии всех факторных признаков на результативный показатель, т.е. удельный вес влияния внутрибанковских расходов (X3) на объём прибыли (результативный признак) составляет 89,4% (∆3 = 0,8944), а удельное влияние доходов по депозитам (Х2) на прибыль составляет 10,5 % ( ∆2 = 0,1055).

IV. Для оценки статистической значимости факторных признаков модели множественной регрессии используется t-критерий Стьюдента.

С помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7) определим табличное значение t табл = 2,364624.

Сравним расчетные значения t-статистики, взятые по модулю, с табличным значением этого критерия (расчетные значения берутся из столбца t-статистика таблицы 3 регрессионного анализа).

Таблица 3

Результаты регрессионного анализа

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-16,2872	14,93646	-1,090434022	0,311629	-51,6064	19,0319	-51,6064	19,0319
X2	0,197247	0,295027	0,668573305	0,525194	-0,50038	0,894874	-0,50038	0,894874
X3	0,592429	0,154086	3,844787137	0,006335	0,228073	0,956786	0,228073	0,956786

• t _х2 = 0,668573 < t_таб=2,364624, следовательно, фактор Х₂ признается статистически не значимым. Такой фактор из модели рекомендуется исключить.

• t _х3 = 3,844787 > t_таб=2,364624, следовательно, фактор Х₃ признается статистически значимым и информативным. Такой фактор рекомендуется в модели регрессии оставить.

5. Построим регрессионную модель со статистически значимыми факторами. Для конкретного примера статистически значимым фактором является только фактор Х3 (величина внутрибанковских расходов). Подробное построение регрессионных моделей рассмотрено ранее. Осуществим следующие установки в окне Регрессия (рисунок 29).

Рис.29. Диалоговое окно Регрессия

Получим следующие результаты (рисунок 30)

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R		0,883761
R-квадрат		0,781033
Нормированный R-квадрат		0,753663
Стандартная ошибка		5,758688
Наблюдения		10
Дисперсионный анализ
	df			SS	MS	F	Знач. F
Регрессия	1			946,3001	946,3001	28,53526	0,000693
Остаток	8			265,2999	33,16248
Итого	9			1211,6
	Коэфф.			Стандарт. ошибка	t-статист.	P-Знач.	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-9,78049			10,93189	-0,89467	0,397079	-34,9895	15,4285	-34,9895	15,4285
X3	0,651363			0,121936	5,341841	0,000693	0,370178	0,932548	0,370178	0,932548

Рис.30. Вывод итогов регрессии

Запишем уравнение зависимости прибыли организации от величины внутрибанковских расходов (Х3):

Y = 0,651363*Х3 – 9,78049

Качество этой модели может быть оценено по коэффициенту детерминации =0,781, следовательно, размер прибыли кредитных организаций на 78,1 % зависит от величины внутрибанковских расходов.

При сравнении качества регрессии y = f (X3) с качеством регрессии y = f (X2, X3) , имеющей =0,794, можно утверждать, что улучшение качества модели не произошло.

Значение F-критерия Фишера составляет 28,53 > Fтабл (1,8)=5,32 , следовательно, построенное уравнение регрессии признается статистически значимым и может быть использовано для анализа и прогнозирования процессов.

6. Построение точечного прогноза прибыли кредитного учреждения (результативного показателя) может быть осуществлено по уравнению множественной регрессии, построенной в пункте 4 задачи, или по уравнению регрессии, содержащего только статистически значимые факторы (пункт 5 задачи).

Воспользуемся уравнением множественной регрессии, так как качество этой модели признано лучшим:

Y=0,197247*X2+0,592429*X3-16,2872

Для построения точечного прогноза результативного признака необходимо рассчитать точечные прогнозы факторных признаков (величины доходов организации по депозитам и величины внутрибанковских расходов). Для этого построим графики X2(t), X3(t) и тренд по каждому из факторов (рисунок 31,32).

Рис. 31. Выбор типа диаграммы

Рис.32. Выбор источника данных

На полученной диаграмме необходимо добавить линию тренда:

Диаграмма->Добавить линию тренда.

В настройках тренда в закладке Параметры указать (рисунок 33):

Прогноз вперед на 1 единицу

Показать уравнение на диаграмме

Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.

Рис.33. Параметры линии тренда

Результат построения представлен на рисунке 34.

Рис.34. Построение прогноза величины доходов по депозитам (X2)

В полученное уравнение тренда

Х2 = 1,8061*х + 49,467 ,

в котором в качестве факторного признака выступает «время», необходимо подставить следующий момент времени. Так как временной ряд факторного признака Х2 представлен 10 наблюдениями, то следующий момент времени будет представлен числом 11.

Получим:

X2_Прогн.=1,8061*11+49,467 = 69,3341 (млн.руб.)

Осуществляя аналогичные установки для фактора Х3, построим прогноз по величине внутрибанковских расходов (рисунок 35) .

Рис.35. Построение прогноза величины внутрибанковских расходов (X3)

Определим прогнозное значение внутрибанковских расходов из построенного уравнения тренда:

X3_Прогн.=4,9455 *11+61,2=115,6005 (млн.руб.)

Рассчитанные значения прогнозов по факторам Х2 и Х3 подставим в уравнение множественной регрессии:

Y=0,197247*X2 + 0,592429*X3 - 16,2872

Получим:

Y_Прогн. = 0,197247*X2 _Прогн. + 0,592429*X3 _прогн. - 16,2872

Y_Прогн.=0,197247*69,3341+0,592429*115,6005-16,2872=65,873832 (млн.руб.)

Определим интервальный прогноз результирующего показателя, для этого рассчитаем ширину доверительного интервала по формуле:

(4)

где = 5,968678 (стандартная ошибка из таблицы регрессионной статистики, рисунок 27),

Y_Прогн. – рассчитанное выше значение точечного прогноза результативного признака,

Кр= t_таб= 2,364624 табличный коэффициент Стьюдента, можно определить с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7)

- среднее значение результативного признака (прибыли кредитной организации).

Подставляя эти значения в выше записанную формулу, получим:

U(k)= 5,968678*2,364624*√(1+0,1+326,6634/1211,6)= 16,51731

Таким образом, прогнозное значение прибыли кредитных организаций Y_прогн= 65,873832 , будет находиться между верхней границей, равной 65,873832 + 16,51731 = 82,39113827 (млн.руб.)

и нижней границей, равной

65,873832 – 16,51731= 49,3565254 (млн.руб.)

Вывод: Прогнозное значение прибыли исследуемых кредитных организаций, рассчитанное по уравнению множественной регрессии, будет находиться в интервале от 49,36 мл.руб. до 82,39 млн.руб.

Данное уравнение регрессии признано статистически значимым по критерию Фишера и обладает достаточно высоким качеством, следовательно, результаты расчетов можно признать надежными и достоверными.

Задания для самостоятельной работы к задаче 3

Строка, соответствующая Вашему номеру варианта, определяет значения признака Y, последующие три строки соответствуют признакам XI, Х2, ХЗ.

Вариант	Наблюдения
1	36	28	66	74	80	84	82	98	112	96
2	40	44	28	52	50	64	70	68	78	90
3	32	40	44	28	50	56	50	56	60	62
4	60	68	80	76	44	96	100	104	106	98
5	50	54	60	62	70	54	84	82	86	84
6	22	30	20	32	44	34	52	56	66	68
7	176	170	156	172	162	160	166	156	152	138
8	150	154	146	134	132	126	134	126	88	120
9	86	94	100	96	134	114	122	118	130	108
10	60	68	64	72	78	88	90	82	92	94
11	56	48	52	58	66	62	48	66	70	68
12	30	40	44	28	50	56	50	56	60	62
13	64	68	82	76	84	96	100	104	108	102