Вопрос №4:
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
.
Найти
вероятность того, что случайная величина,
распределенная таким образом, окажется
в интервале (-;4).
Решение
Рассматриваемая
величина распределена по нормальному
закону, для которого плотность вероятности
(дифференциальная функция распределения)
имеет вид:
.
Сравнив это выражение с выражением из
условия задачи, определяем, что
,
.
Вероятность
попадания нормально распределенной
величины на интервал
определяется формулой:
В нашем случае:
Мы использовали,
что
- нечетная функция, и то, что мы полагаем
(приближенно)
при
.
Значение
найдено нами из таблицы.
Без таблицы вы не сможете правильно выполнить это зачетное задание! Таблица является приложением в любом учебнике по теории вероятностей, как правило, приложение № 2. Таблицей можно официально пользоваться как справочным материалом на зачете или экзамене.
Вопрос №5:
В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу брошена точка (x,y). Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству y>1 2x.
Решение
Нарисуем картинку:
На рисунке заштриховано множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству y>1 2x.
Искомая
вероятность равна отношению площади
заштрихованной области к площади всего
квадрата. Площадь квадрата очевидно
равна 1, а площадь заштрихованной области
равна площади квадрата за вычетом
площади незаштрихованного треугольника,
то есть
.
Итак,
искомая вероятность равна
Замечание: чтобы правильно заштриховать область, удовлетворяющую неравенству, сначала нужно знак > или < мысленно заменить на знак равенства и нарисовать соответствующую прямую (самый простой способ – по точкам). Затем для знака < взять область ПОД нарисованной прямой, а для знака > НАД прямой.
Вопрос №6:
Вычислить дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
X |
-1 |
-2 |
3 |
P |
0,1 |
0,3 |
0,6 |
Решение
Сначала вычислим
математическое ожидание случайной
величины
:
Затем вычислим
математическое ожидание случайной
величины
:
Теперь используем формулу для вычисления дисперсии:
Замечание: Математическое ожидание, являющееся по определению средним значением случайной величины, должно в данном примере попасть в промежуток от -1 до 3, т.к. -1 – минимальное, а 3 – максимальное значение случайной величины, а среднее не может быть меньше минимального или больше максимального значения.
Дисперсия не может получиться отрицательной величиной!
Вопрос №7:
Из букв слова КАРМАН, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 4 буквы и складываются в ряд. Найти вероятность того, что получится слово КРАН.
Решение
Используем классическое определение вероятности.
Общее
число элементарных исходов равно числу
размещений из 6 элементов по 4 позициям:
.
Число благоприятствующих исходов равно 2, так как буква А может быть выбрана двумя способами из слова КАРМАН.
Искомая вероятность
равна отношению числа благоприятствующих
исходов к общему числу исходов
Замечание
(способ № 2). Очевидно, что слово КРАН
получится только в том случае, если
сначала будет извлечена буква «К», затем
буквы «Р», «А» и на последнем месте «Н»,
причем важен порядок. Вероятность
извлечь букву «К» равна 1/6 по классическому
определению. Вероятность ПОСЛЕ ЭТОГО
извлечь букву «Р» равна 1/5, так как букв
останется 5. Вероятность на третий раз
получить букву «А» равна 2/4, так как
всего две буквы «А» в слове КАРМАН, а
останется выбор из 4 букв. Аналогично
для последней буквы вероятность 1/3.
Перемножая все полученные вероятности,
получаем ответ
.