Відсоткові розрахунки
Щоб дізнатися, на скільки відсотків збільшилась або зменшилась дана величина, потрібно знайти:
на скільки одиниць збільшилась або зменшилась дана величина;
скільки відсотків становить одержана різниця від початкового значення величини.
Приклад. Робітник за зміну виготовив 80 деталей. а його учень – 56. На відсотків менше деталей виготовив учень, ніж робітник?
Розв’язання.
80
56=24
(деталі) – на скільки більше робітник
виготовив деталей, ніж учень.
Отже, учень на 24% виготовив менше деталей.
Відповідь. 24%.
Задача 1. Ціну на товар, що коштував 150 грн., спочатку зменшили на 20%, а потім нову ціну збільшили на 20%. Знайдіть ціну товару після двох переоцінок.
Розв’язання.
100 20=80% становить ціна товару після першої переоцінки.
80%=0,8; 150·0,8=120(грн.) – ціна товару після першої переоцінки.
100+20=120% становить ціна товару після другої переоцінки.
120%=1,2; 120·1,2=144(грн.) – ціна товару після другої переоцінки.
Відповідь. 144грн.
Задача 2. Сплав міді з оловом 12 кг містить 45% міді. Скільки кг чистого олова потрібно додати до сплаву, щоб одержати новий сплав, який містив би 40% міді?
Розв’язання.
45%=0,45; 12·0,45=5,4(кг) – маса міді у першому сплаві.
40%= 0,4; 5,4:0,4=13,5(кг) – маса другого сплаву.
13,5-12=1,5(кг) – маса олова, яку додали до першого сплаву.
Відповідь. 1,5 кг.
Задача 3. Із двох сплавів, один з яких містить 60% міді, а інший – 80%, потрібно одержати сплав, що має масу 4 кг і містить 75% міді. Скільки кг кожного сплаву потрібно для цього взяти?
Розв’язання.
Нехай х кг – маса першого сплаву, (4-х) кг – маса другого сплаву, 60%=0,6; 0,6х кг – маса міді у першому сплаві, 80%=0,8; 0,8·(4-х)кг – маса міді у другому сплаві, 75%=0,75; 4·0,75=3кг.
Тоді 0,6х + 0,8(4-х)=3; 0,6х + 3,2 – 0,8х = 3; -0,2х = -0,2; х = 1.
Отже, 1кг – маса першого сплаву, 4 – 1= 3(кг) – маса другого сплаву.
Відповідь. 1кг і 3 кг.
Задача 4. За весну Карлсон схуд на 25%, потім за літо поправився на 20%, за осінь схуд на 10%, а за зиму поправився на 20%. Чи поправився він за рік?
Розв’язання.
1 – вага Карлсона.
1) 25%=0,25; 1-0,25=0,75 – на кінець весни.
2) 20%= 0,2; 0,75 + 0,75·0,2=0,9 – на кінець літа.
3) 10%=0,1; 0,9 – 0,9·0,1= 0,81 – на кінець осені.
4) 20%=0,2; 0,81+ 0,81·0,2=0,972 – на кінець зими.
5) 1 – 0,972 = 0,028 – на скільки Карлсон схуд.
Отже, Карлсон схуд.
Відповідь. Карлсон схуд.
Задача 5. Вологість трави становить 80%, а сіна – 20%. Скільки вийде сіна з 1 т трави?
Розв’язання.
100 80=20% становить суха маса у траві.
20%=0,2; 1·0,2=0,2(т) – становить суха маса у 1т трави.
100-20=80% становить суха маса у сіні.
80%=0,8; 0,2:0,8=0,16(т) – маса сіна.
Відповідь. 0,16 т.
6 Клас, олімпіада
Відсотки
Складність олімпіадних задач на відсотки полягає в тому, що мова йде про відсотки з різним значенням. Це добре видно з наступних задач.
Задача. Чоловік поклав на депозит у банк 9000 грн. За три місяці його вклад збільшився на 4%, а за наступні три місяці – ще на 4%. На скільки відсотків збільшився вклад чоловіка за півроку?
Розв’язання. За перші три місяці вклад зріс на 9000:100 · 4=360 грн і його величина становить 9000+360=9360 грн.
За наступні три місяці вклад збільшився на 9360:100·4=374,4 грн. За півроку прибуток чоловіка склав 360+374,4=734,4 грн, що становить 734,4:(9000:100)=8,16%.
У складніших прикладних задачах на відсотки часто йдеться про збільшення або зменшення величини на кілька відсотків. Для їх розв’язування треба чітко розуміти, від якої саме величини беруться відсотки. Наприклад, якщо йдеться про кількаразове підвищення ціни на будь-який товар, то слід розуміти, що кожен раз відсотки беруться від останнього значення ціни. При цьому, якщо значення х більше від у на р%, то значення у менше від х не на р%.
Збільшенню в 2 рази відповідає збільшення на 100% , а зменшенню в 2 рази –зменшення на 50% .
Задача. За перший місяць ціна товару підвищилася на 20%, а за другий – ще на 15%. На скільки відсотків зросла ціна товару за два місяці?
Розв'язання. Після першого подорожчання ціна становила 100+20=120% від початкової. Зрозуміло, що відсоток другого подорожчання інший, бо він вираховується від більшого числа: 1% другого подорожчання становить 120:100=1,2% початкової ціни. Тому друге подорожчання становить 1,2 · 15=18% початкової ціни. Отже, за два місяці ціна зросла на 20+18=38%.