2. Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения с заданной надежностью  находится по формуле

, (3)

где находится по таблице (приложение ).

Пример 1. Дано распределение частот выборки (табл. 1). Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения  с доверительной вероятностью  = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону

Таблица 1

	12 –15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27	27 – 30
	2	6	12	19	7	4

Решение

Имеем: , , . Так как объем выборки , то находим

.

По таблице приложения  находим

.

Подставляя полученные значения S и t_ в формулу (2), получим

или

.

По таблице приложения  найдем .

Подставляя значения S и q в формулу (3), получим

или

.

3.Интервальная оценка вероятности события

Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте служит доверительный интервал (с приближенными концами р₁ и р₂) ,

где

n- общее число испытаний;

m- число появления события;

- относительная частота, равная отношению m/n;

t- значение аргумента функции Лапласа, при котором . ( - заданная надежность).

Замечание: При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

Пример: Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.

Решение: По условию, n=60, m=15, =0.95. Найдем относительную частоту появления события А: .

Найдем t из соотношения . По таблице функции Лапласа находим t=1,96.

Найдем границы искомого доверительного интервала:

Подставив в эти формулы n=60, , t=1,96, получим р₁=0,16, р₂=0,37.

Итак, искомый доверительный интервал .

Пример: Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью =0.999.

Решение: Найдем относительную частоту появления выигрыша .

Найдем t из соотношения . По таблице функции Лапласа находим t=3,3.

Учитывая, что n=400 велико, используем для отыскания границ доверительного интервала приближенные формулы:

Подставив в эти формулы n=400, , t=3,3,

получим р₁= -0,0058, р₂= 0,0308.

Итак, искомый доверительный интервал .