1.2 Основы теории зубчатого зацепления

N

Профили зубьев пары колес должны быть сопряженными, т. е. заданному профилю зуба одного колеса должен соответство­вать вполне определенный профиль зуба другого колеса. Чтобы обеспечить постоянство передаточного числа, профили зубьевнужно очертить такими кривыми, которые удовлетворяли бы требованиям основной теоремы зацепления.

Рис. 6. Схема к доказательству основной теоремы зацепления

Основная теорема зацепления. Для доказательства теоремы рассмотрим пару сопряженных зубьев в зацеплении (рис. 6). Профили зубьев шестерни и колеса касаются в точке S, называе­мой точкой зацепления. Центры вращения О₁и О₂ расположены на неизменном расстоянии a_w друг от друга. Зуб шес­терни, вращаясь с угловой скоростью w₁, оказывает силовое действие на зуб колеса, сообщая последнему угловую скорость w₂. Проведем через точку S общую для обоих профилей касатель­ную ТТ и нормаль NN. Окружные скорости точки S относительно центров вращения О₁ и О₂:

v₁ = O₁ Sw₁ и v₂ = O₂ Sw₂

Разложим v₁и v₂ на составляющие v'₁и v'₂ по направлению нормали NN и составляющие v''₁и v''₂по направлению касательной ТТ. Для обеспечения постоянного касания профилей необходимо соблюдение условияv'₁=v'₂, в противном случае при v'₁<v'₂зуб шестерни отстанет от зуба колеса, а при v'₁>v'₂произойдет вреза­ние зубьев. Опустим из центров O₁ и О₂ перпендикуляры O₁B и О₂С на нормаль NN.

Из подобия треугольников aeS и BSO₁v'₁/v₂= O₁B/O₁S,

откуда

Из подобия треугольников afS и CS0₂ v'₂ / v₂ =O₂C / O₂S, откуда v'₂ = (v₂/0₂S) O₂C = w₂ *O₂C. Hov'₁=v'₂, следовательно, w₁ *O₁B = w₂ *O₂C.

Передаточное число

u = w₁ / w₂ = O₂C / O₁B. (1)

Нормаль NN пересекает линию центров О₁О₂ в точке П, назы­ваемой полюсом з а ц е п л е н и я. Из подобия треугольников О₂ПС и О₁ПВ

O₂C / O₁B = O₂П / O₁П = r_w1 / r_w2 (2)

Сравнивая отношения (1) и (2), получаем

u = w₁ / w₂= r_w1 / r_w2= const

(3)

Таким образом, основная теорема зацепления формулирует­ся: для обеспечения постоянного передаточного числа зубчатых колес профили их зубьев должны очерчиваться по кривым, у кото­рых общая нормаль NN, проведенная через точку касания профилей, делит расстояние между центрами O₁O₂ на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Полюс зацепления П сохраняет неизменное положение на линии центров O₁O₂, следовательно, радиусы r_w1 и r_w2 также неизменны.

Окружности радиусов r_w1 и r_w2 называют начальными. При вращении зубчатых колес начальные окружности перекатываютсяч друг по другу без скольжения, о чем свидетельствует равенство их окружных скоростейw₁r_w1 =w₂r_w2, полученное из формулы (3).

Из множества кривых, удовлетворяющих требованиям основ­ной теоремы зацепления, практическое применение в современ­ном машиностроении получила эвольвента о к р у ж н о с т и, которая:

а) позволяет сравнительно просто и точно получить профиль зуба в процессе нарезания;

б) без нарушения правильности зацепления допускает неко­торое изменение межосевого расстояния a_w (это изменениеможет возникнуть в результате неточностей изготовления и сборки).

Эвольвента окружности (рис. 8.7). Эвольвентой окружности называют кривую, которую описывает точка S прямой NN, пе­рекатываемой без скольжения по окружности радиуса г_b. Эта окружность называется эволютой или основной окружно­стью, а перекатываемая прямая NN — производящейпрямой.

Характер эвольвентного зубчатого зацепления определяется свойствами эвольвенты.

1. Производящая прямая NN является одновременно каса­тельной к основной окружности и нормалью ко всем производи­мым ею эвольвентам.

2. Две эвольвенты одной и той же основной окружностиэквидистантны *.

3. С увеличением радиуса r_bосновной окружности эвольвен­та становится более пологой и при r_b→∞ обращается в прямую.

4. Радиус кривизны эвольвенты в точке S₂ равен длине дугиS₀Bосновной окружности. Центр кривизны эвольвенты в даннойточке находится на основной окружности.