Экономические задачи на оптимизацию

Задача 1

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение: 1-й способ – с помощью составления опорной линейной функции.

Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме «Линейная функция». Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линейной функции

у = кх + в, где к и в – постоянные. Если эту функцию рассматривать на отрезке

[ ; ], то она будет иметь на нем наибольшее и наименьшее значение. При к 0 наименьшее значение у принимает в точке х = , а наибольшее – в точке х = , при к 0 функция у в точке х = принимает наибольшее значение, а в точке х = - наименьшее. Решим задачу.

Пусть х рабочих в 1 шахте добывают алюминий ежедневно, тогда (100-х) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (5х) кг, количество добытого никеля – 15(100-х) кг.

Пусть у рабочих во 2 шахте добывают алюминий ежедневно, (300-у) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (15у) кг, количество добытого никеля – 5(300-у) кг.

Всего количество добытого алюминия (5х+15у);а количество добытого никеля - 15(100-х)+ 5(300-у)=1500-15х+1500-5у=3000-15х-5у.

Функция сплава: F(x) = (5х+15у) + (3000-15х-5у); F(x) = -10х+10у + 3000;

Учтем условие, при котором производится сплав алюминия и никеля: 2 кг алюминия и 1 кг никеля. Тогда 5х+15у=2(3000-15х-5у). Отсюда у = -1,4х+600. Поставим это выражение в функцию сплава: F(x) = -10х+10(-1,4х+600) + 3000;

F(x) = -24х +5400. Эта линейная функция является убывающей. Наибольшее значение она принимает при х=0. Значит, F(100)=5400.

Ответ:5400

2-й способ – с помощью логических рассуждений и составления уравнения.

Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то для наибольшей выгоды логично допустить, чтобы все рабочие в этой шахте добывали никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Рассуждаем дальше. Значит, рабочих 2-й шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля с учетом пропорции сплава. Пусть х рабочих 2 шахты добывают алюминий, тогда (300-х) рабочих добывают никель. Составим уравнение: 5 ∙3∙ х =2∙(5∙ (300-х) + 1500); 15х = 6000-10х; х = 240.

Найдем у: у=300-240=60.Значит, 240 рабочих 2-й шахты должны добывать алюминий, 60 рабочих добывать никель. Тогда алюминия будет добыто

240∙ 5∙3 = 3600 (кг), никеля 1500 + 60∙5=1800(кг). Всего 3600+1800=5400 (кг). Ответ: 5400 кг

3-й способ – методом перебора. Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то пусть все рабочие добывают никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Что делать? Значит, рабочих 2 шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля. Применим метод перебора.

Допустим, что 10 рабочих 2 шахты добывают никель, а 290 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 290∙5∙3= 4350 (кг), а никеля – 1500 + 10∙5= 1550 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо увеличить количество рабочих, добывающих никель. Допустим, что 20 рабочих 2 шахты добывают никель, а 280 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 280∙5∙3= 4200 (кг), а никеля – 1500 + 20∙5= 1600 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель. Допустим, что 40 рабочих 2 шахты добывают никель, а 260 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 260∙5∙3= 3900 (кг), а никеля – 1500 + 40∙5= 1700 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель. Допустим, что 60 рабочих 2 шахты добывают никель, а 240 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 240∙5∙3= 3600 (кг), а никеля – 1500 + 60∙5= 1800 (кг). Замечаем, что данные удовлетворяют пропорции 1: 2, то есть на 1 часть никеля приходится 2 части алюминия: 1800: 3600. Итак, всего будет добыто 3600+1800=5400 (кг) алюминия и никеля. А количество изделий из сплава тогда будет равно 1800 штук.

Ответ: 5400 кг.

Задача 2

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение:

1-й способ – с помощью логики и арифметических действий.

Найдем стоимость 1 номера стандартного: 2000:21=95 (рублей).

Найдем стоимость 1 номера «люкс»: 4500: 49 =91 (рублей).

Так как стоимость 1 стандартного номера дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как можно меньше номеров «люкс». Начнем перебор количества номеров «люкс» с наименьшей цифры. Пусть номеров «люкс» будет 0. Тогда число 1099 не делится нацело на 21. Далее. Допустим, что номеров «люкс» будет 1. Тогда: 1099- 49=1050 ;

1050: 21 = 50 (номеров стандартных). Значит, на площади 1050 можно разместить 50 стандартных номеров. Тогда в сутки отель может заработать: 50∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (р.). Ответ: 104500 рублей.

2-й способ – с помощью составления опорной линейной функции.

Пусть х – количество стандартных номеров, у- количество номеров «люкс». Они занимают площадь 21х+49у. Составим равенство: 21х+49у = 1099. Выразим из этого равенства у = .

Составим функцию заработанных денег: S(x, y) =2000∙x + 4500∙y. Далее подставим в эту функцию выражение для у. Получим S(x) =71 ∙х + 4500∙22 . Это возрастающая линейная функция. Свое наибольшее значение она принимает при наибольшем значении х и наименьшем значении у. По условию х и у – натуральные числа. Значит, у=1 (это наименьшее натуральное число) и х=50. Значит, S (50, 1) = 2000∙50 + 4500∙ 1=104500.

Ответ: 104500 рублей.

Задача 3

На каждом из двух комбинатов работают по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В.На втором комбинате для изготовления t деталей ( и А, и В) требуется t² человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат , из которых собирают изделие , для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий может собрать комбинат при таких условиях?

Решение. Пусть на первом комбинате х человек изготавливают деталь А, по 3 штуки за смену. Значит, всего 3х деталей А. Тогда (100 –х) человек изготавливают деталь В, по 1 штуке за смену. Всего (100-х) деталей В.

Пусть на втором комбинате изготавливают a деталей А и b деталей В. Тогда на изготовление деталей А требуется a² человеко-смен, а для изготовления детали В b² человеко-смен. По условию a² + b² =100, так как в одну смену трудятся все 100 рабочих второго комбината. Сведем все данные в таблицу:

Комбинат	Количество деталей А	Количество деталей В
1-й комбинат	3х	100-х
2-й комбинат	a	b
Всего	3х +a	100 – х +b

Чтобы собрать наибольшее количество изделий, нужно соблюдать условие:

1 деталь А и 3 детали В. В противном случае лишние детали будут залеживаться, из них нельзя будет собрать изделие, пока не будет готова другая деталь. Значит, 3(3х +a) = 100 – х +b; 10х= 100 + b – 3a. (1)

В каждом изделии содержится 1 деталь А и 3 детали В. Значит, общее количество изделий равно числу изделий А.

Так как a и b – целые числа и a² + b² =100, то возможны следующие случаи:

1. a=0, b=10. Тогда из равенства (1) х=11 и 3х +a=3∙11 +0=33.

2. a=10, b=0. Тогда из равенства (1) х=7 и 3х +a=3∙7 +10=31.

3. a=6, b=8. Тогда х=9 и 3х +a=33.

4. a=8, b=6. Тогда х=8,2 – не является целым числом.

Значит, наибольшее количество изделий равно 33. Ответ: 33