1. Метод оценки

10. Найдите при различных значениях параметра а множество значений функции .

Решение. Область определения функции – интервал

Имеем

Оценим

Очевидно,

Рассмотрим функцию при различных значениях параметра а.

а) Пусть Тогда для любого

Итак, если то

б) Пусть Тогда

Итак, если то для любого Это означает, что

в) Пусть Тогда

Итак, если то для любого Это означает, что

Ответ. Если то

если то если то

2. Графический метод

11. Найдите при различных значениях параметра а множество значений функции .

Решение. Построим график функции при различных значениях параметра а.

Областью определения функции является интервал

Так как функция чётная, то множество значений функции на интервале совпадает с множество значений этой функции на промежутке

Исследуем функцию если

Имеем

Найдём производную функции . Имеем

Итак,

Из уравнения найдём критические точки при различных значениях параметра а, если

а) Пусть Тогда

Так как и то уравнение имеет два корня: Очевидно,

Критическая точка разбивают промежуток на промежутки . На рисунке 1 указаны знаки функции на каждом промежутке. Из рисунка 1 делаем вывод: функция возрастает на отрезке и убывает на промежутке _.

Найдём значение функции в точках .

Строим график функции , если

Из рисунка 2 делаем вывод: если то _.

б) Пусть

Так как и то уравнение имеет единственный корень который не является критической точкой.

На промежутке производная отрицательная, поэтому на этом промежутке функция убывает.

Строим график функции , если

Из рисунка 3 делаем вывод: если то _.

Ответ. Если то

если то

3. Рассматриваем функцию как параметр

Для того чтобы найти множество значений функции , надо определить при каких значениях у и а имеет решение уравнение . Если для параметра уравнение имеет решение при любом то если

12. Найдите при различных значениях параметра а множество значений функции .

Решение. 1. Имеем

Если уравнения и (3) не имеют общих корней, то система (1) и уравнение (2) равносильны.

Уравнения (2) и (3) имеют общие корни при тех значениях параметра а, при которых имеет решения система двух уравнений с двумя неизвестными и а

Итак, если то уравнения (2) и (3) имеют общий корень. Это означает, что система (1) и уравнение (2) не равносильны, если . Если то система (1) и уравнение (2) равносильны.

2. Найдём множество значений исходной функции при различных значениях параметра а.

Если то исходная функция принимает вид

Итак, если то где Тогда

Пусть

Множество значений исходной функции, при некотором значении параметра совпадает с множеством значений при которых уравнение имеет решение, если

1) Если то уравнение (4) является линейным уравнением

Итак, при любом множеству значений исходной функции принадлежит .

2) Если то уравнение (4) является квадратным уравнением относительно х. Тогда уравнение (4) имеет решение, если дискриминант уравнения неотрицательный, то есть, если

3) Рассмотрим неравенство , где и уравнение (4) при различных значениях параметра

а) Если то неравенство (5) принимает вид . Итак, если то .Так как , то уравнение (4) имеет решения при любом , если . Тогда если

Если то

.

^{б) Пусть}

Если то

Если то . Тогда решением неравенства (6) являются где Так как , то уравнение (4) имеет решение, при любом , если Тогда где

Если .то . Тогда решением неравенства (6) являются где Так как , то уравнение (4) имеет решение при любом , если Тогда где

в) Пусть Тогда

Если то

Тогда решениями неравенства (7) являются где Так как , то уравнение (4) имеет решение при любом , если Тогда где

Ответ. если если

если если

если