4. Замена переменной.

Замечания. Для того чтобы найти множество значений функции надо:

1) сделать замену переменной ; 2) найти множество значений функции ; 3) найти множество значений функции

Множества значений функций и совпадают.

13. Найдите при различных значениях параметра а множество значений функции

Решение. 1. Сделаем замену Тогда где (следует из таблицы 2 и из того, что ).

Обозначим Тогда

Так как функция нечётная, то сначала найдём множество значений функции , если , а затем укажем множество значений функции , если

На рисунке 4 изображён график функции где

Отметим: множеством значений функции если , является множество и

2. Найдём множество значений функции если

1) Пусть

Если то Из рисунка 5 следует: множеством значений функции , где является множество , если (рисунок 5 – эскиз графика функции , где ).

Если , то множеством значений нечётной функции , где

, является множество

2) Пусть

Если то где . Из рисунка 6 следует: множеством значений функции , если где , является множество , если (рисунок 6 – эскиз графика функции , если где ).

Если , то множеством значений нечётной функции , где , является множество

3) Пусть

Если то где . Из рисунка 7 следует: множеством значений функции , если где , является множество если (рисунок 7 – эскиз графика функции если где ).

Если , то множеством значений нечётной функции , где , является множество

Из 2. следует ответ.

Ответ. Пусть

, если

^если

_{14. Найдите все значения параметра а, при которых имеет решение уравнение}

Решение. ОДЗ уравнения:

Имеем

1) Найдём, при каких значениях параметра а корнями уравнения (3) являются .

Если то из уравнения (3) следует, что Итак, если

то являются корнями уравнения (3). Тогда уравнение (1), если не имеет корней (если , то ). Это означает, что уравнения (1) и (3) равносильны, если

2) Так как множеством значений функции является промежуток , то уравнение имеет решения, если

_{Из 1) и 2) следует ответ.}

Ответ.

15. Найдите все значения параметра и , при которых множество значений функции содержит все числа кратные 3.

Решение. 1. Сделаем замену

Тогда где

Замечание. Графиком функции является гипербола, асимптотами которой являются прямые Если то функция возрастает на каждом интервале . Множеством значений функции является

Множеством значений функции если является интервал .

Отметим: если то если то

Так как функция , где и , возрастает на промежутке , то наименьшее значение функции на этом промежутке, равно . И так как то множеством значений функции на промежутке является интервал (рис. 8).

Итак, если , то .

2. Отметим: число х кратно 3, если его можно представить в виде

где

Множество значений функции содержит все числа кратные 3,

если отрезок не содержит ни одного положительного числа

кратного 3. Это возможно только в случае, если

Система (1) имеет решения только, если

Так как , где , то

Итак, система (1) имеет решение, если

Из двойного неравенства системы (1) имеем

а) если то удовлетворяют условию задачи;

б) если то удовлетворяют условию задачи;

в) если то удовлетворяют условию задачи

Ответ.

16. Найдите все значения параметра а, при которых множество значений функции принадлежит отрезку для всех значений х.

Решение. Множество значений исходной функции принадлежит отрезку , если

Замечание. Неравенство выполняется для всех значений х, если дискриминант

Система (1) имеет решения для всех значений х, если дискриминанты каждого неравенства системы неположительные.

Значения параметра а, которые удовлетворяют условию задачи, находим из системы

Ответ.

Периодические функции

Определение. Функция , определённая на множестве Х, называется периодической, если существует такое число , что для любого значения следует, что , и = . Число называется периодом функции.

Определение. Наименьший, положительный период функции называется главным периодом.

Замечания.

1. Если число является периодом функции, то и любое число где является периодом функции.

2. Функция ( , постоянная) является периодической, но периодом её является любое число .

3. Периодическая функция принимает каждое своё значение неограниченное число раз.

4. Если периодическая функция с период не определена в точке , то она не определена во всех точках , где .

5. Если периодические функции и , определённые на множестве Х, имеют несоизмеримые периоды и , то эти функции не имеют общего периода.

6. Если периодические функции и , определённые на множестве Х, имеют соизмеримые периоды и , то функции + , являются периодическими.

7. Главными периодами функций , , , являются соответственно числа , , , .

17. Найдите все значения параметра а, при которых функции

и имеют общий период.

Решение. Периодами функций и являются соответственно и .

Число является их общим периодом, если существуют такие целые числа и , при которых . Имеем

Так как левая часть равенства (1) иррациональное число, если а правая часть – рациональное число, то это равенство выполняется, если

Если то равенство (1) принимает вид

Итак, если то данные функции имеют общий период.

Например, если то общий период данных функций.

Ответ. .

18. Найдите все значения параметра а, при которых функция является периодической.

Решение. Пусть и

Функция является периодической с периодом

Дробно-рациональная функция не является периодической,

так как каждое своё значение она принимает конечное число раз, для любого

Функции может быть периодической, если область определения функции является множество (если функция имеет точки разрыва, то их конечное число). Область определения функции является множество _, если область определения функции является множество , то есть, если

Область определения функции есть множество , если

Так как функция является периодической, а функция не является периодической, то функция является периодической, если

Если то функция принимает вид

Если то функция периодическая с периодом .

Если то функция принимает вид

Так как если то функция периодическая, но периодом её является любое число .

Ответ. Если

19. Пусть и – корни квадратного уравнения

.

Найдите все значения с, при каждом из которых для любого значения а функция является периодической.

Решение. 1. Обозначим тогда функция принимает вид .

Если число является периодом функции , то

Так как рациональное число, то из равенства следует:

если а иррациональное число, то и t иррациональное число;

если а рациональное число, то и t рациональное число.

Тогда равенство выполняется для любого значения а, если и (равенство принимает вид ).

Для любого а и функция является периодической. Действительно.

1) Если и , то . Эта функция периодическая с главным периодом .

2) Если и , то Эта функция является периодической и периодом её является любое число .

2. Так как функция является периодической для любого а, если _, то определим все значения с при которых .

Так как и – корни квадратного уравнения (1), то имеем

Итак, удовлетворяет условию задачи.

Ответ. _.

20. Нечётная периодическая функция , с периодом , определённая на всей числовой прямой, на отрезке задана уравнением . Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно 6 корней.

Решение. 1. На отрезке , имеем

На отрезке графиком функции является часть параболы , ветви которой направлены вверх, вершина параболы в точке и парабола проходит через точку .

На промежутке графиком функции является часть параболы , ветви которой направлены вверх, вершина параболы в точке и парабола проходит через точку .

2. Пусть . Так как по условию , то

Найдём, при каких значениях параметра графики функций и пересекаются в точке с абсциссой Имеем

1) Оценим _. Имеем

а) Так как , то , а тогда если .

б) Решим неравенство

Обозначим . Тогда неравенство (1) принимает вид

Найдём производную функции . Имеем

Так как , то _.

Так как то если . Тогда функция возрастает, если .

Кроме того Таким образом, если , то если где .

Итак, графики функций и пересекаются в точке с абсциссой если где .

3. Уравнение , если где , имеет шесть корней, если графики функций , пересекаются в шести точках.

На рисунке 9 изображёны графики функций и (при некотором значении параметра ) на отрезке (функции является нечётной с периодом ).

Очевидно, является корнем уравнения (2) при любых значениях и графики функций и пересекаются в точке с абсциссой если где . Тогда из рисунка 9 следует, что графики функций и пересекаются в шести точках, если график функции проходит через точку , то есть, если

Итак, удовлетворяет условию задачи.

4. Если где , то

а) Если где , то график функции на отрезке проходит через точки и . Уравнение (2) имеет 2 корня (рис. 10).

б) Если где , то график функции на отрезке проходит через точку и выше точки . Уравнение (2) имеет один корень (рис. 10).

Ответ.

Чётные и нечётные функции

Определение. Функция называется чётной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение также принадлежит области определения функции и = .

Функция называется нечётной, если для любого значения х,

взятого из области определения функции, значение также принадлежит области определения функции и = .

1) Область определения чётной и нечётной функций симметрична относительно начала координат.

2) Функция с областью определения симметричной относительно начала координат, является одновременно чётной и нечётной.

3) Функция где постоянная, с областью определения симметричной относительно начала координат, является чётной.

21. Определите, при каких значения параметра а функции

1) ; 2)

являются чётными или нечётными.

Решения. 1) Рассмотрим функцию при различных значениях параметра а.

а) Если , то функция принимает вид

Так как областью определения этой функции является множество

, которое симметрично относительно начала координат и

, то функция , если , является нечётной.

б) Пусть .

Если то область определения функции – множество , которое симметрична относительно начала координат. Если то область определения функции – множество , которое симметрична относительно начала координат.

в) Найдём . Имеем

Получили, что . Так как и область определения симметрична относительно начала координат, то функция при является нечётной.

2) Область определения параметра а:

Так как , то Тогда областью определения функции является интервал .

Найдём . Имеем

Получили, что . Так как и область определения симметрична относительно начала координат, то функция нечётная, если

Ответ. 1) нечётная, если ;

2) нечётная, если .

22. Найдите положительные значения параметра а, при которых

функция является чётной.

Решение. Очевидно, = и .

Функция будет чётной, если .

Имеем

.

Последнее равенство справедливо при всех если

Ответ.

23. При каких значениях параметра а, функция является чётной, нечётной?

Решение. Очевидно, и .

Имеем .

1) Функция будет чётной, если . Имеем

=

Итак, функция чётная, если .

2) Функция будет нечётной, если . Имеем

= .

Итак, функция нечётная, если .

Ответ. Чётная, если ; нечётная, если .

Использование ограниченности функций

для решения уравнений, неравенств, систем уравнений

Если ОДЗ уравнения есть множество X и для любого справедливы неравенства и , где A – некоторое число, то

24. Решите уравнение

.

Решение. Промежуток является ОДЗ уравнения.

Оценим левую часть уравнения (1).

Замечание. Если то равенство достигается, если

Так как то

Итак, левая часть уравнения (1) не меньше 2.

Оценим правую часть уравнения (1). Так как и то

Так как левая часть уравнения (1) не меньше 2, а правая часть уравнения (1) не больше 2, то уравнения (1) равносильно системе

Замечание: из равенства следует, что а является целым числом.

Ответ. , если а является целым числом;

а не является целым числом

25. Решите уравнение .

Решение. Оценим левую часть уравнения (1).

Из неравенства , имеем

.

Левая часть уравнения (1) не больше 2 и равна 2, если и . Так как то правая часть уравнения (1) не меньше 2 и равна 2, если

Если то уравнение (1), равносильно системе

Отберём все значения x, входящие одновременно в обе серии решений. Найдём такие числа , что . Имеем

.

Таким образом, если то решениями системы (2), следовательно, и уравнения (1) являются .

Ответ. Если то ;

если , то решений нет.

26. При каких значениях параметра а имеет единственное решение уравнение ?

Решение. Очевидно, является решением уравнения (1) при любых значениях а.

Если то уравнение (1) принимает вид

Итак, если то уравнение (1) имеет бесконечное множество решений.

Пусть

Перепишем уравнение (1) в виде . Так как

, то . Очевидно, .

Так как левая часть уравнения (2) не больше 3, а правая не меньше 3, то уравнение (2), а значит и исходное, равносильно системе

Отберём все значения x, входящие одновременно в обе серии решений. Найдём такие числа , что . Имеем

Равенство где рациональное число, выполняется в двух случаях.

1) Если рациональное число, то где и не равные нулю целые числа (в этом случае ). Тогда решениями исходного уравнения являются где не равное нулю целое число (уравнение имеет более одного решения).

2) Если а иррациональное число, то равенство выполняется только в случае, если и . Тогда исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ. а – любое иррациональное число.

27. Решите неравенство

Решение. Неравенство (1) равносильно системе

Решением исходного неравенства может быть только если . Проверкой убеждаемся, что если , удовлетворяет исходному неравенству.

Ответ. Если то .если то решений нет.

28. Решите систему уравнений

Решение. Имеем

Так как и то

Итак, система (1) может иметь решение, если

Так как если то из первого уравнения системы (1) следует, что где

Из второго уравнения системы (1) имеем

Система уравнений (1), если равносильна системе уравнений

Ответ. Если то .

если то система не имеет решений.

29. Решите систему уравнений

.

Решение. Рассмотрим второе уравнение системы (1).

Так как и то уравнение равносильно системе

_{Итак, второе уравнение системы (1) имеет решение, если}

Решением системы (1) может быть пара где

Рассмотрим первое уравнение системы (1), если

Отметим: х и а являются целыми числами.

Так как уравнение квадратное, то по теореме Виета

Так как то из равенства следуют следующие четыре случая.

1)

Очевидно, и удовлетворяет условиям Тогда, если то решениями системы (1) являются пары

2)

Не существуют целых чисел m таких, что Это означает, если , то система (1) не имеет решений.

3)

Очевидно, и удовлетворяет условиям

Тогда, если то решением системы (1) является пара

4)

Легко проверить, что не существует целого числа m такого, что Это означает, если то система (1) не имеет решений.

Ответ. Если то решения

если то решение

если _{, то система решений не имеет.}

30. Решите систему неравенств

Решение. Обозначим

Тогда первое неравенство системы (1) принимает вид

Из второго неравенства системы (1) имеем

Систему (1) перепишем в виде

Замечание. Так как то (неравенство Коши).

Так как , то из системы (2) следует

Система неравенств (1) равносильна системе уравнений

Ответ. Если то

Использование симметрии аналитических выражений

Уравнение, неравенство, система обладают свойством алгебраической симметрии, если они не меняют своего вида при замене местами или изменения знака переменных.

Если уравнение (неравенство, система) с параметром обладает свойством алгебраической симметрии, то часто требуется определить при каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение.

Например, уравнение где чётная функция, а – параметр, обладает свойством алгебраической симметрии, так как при изменении знака переменной оно не меняют своего вида. Если решением уравнения является , то и одновременно является решением этого уравнения. Рассматриваемое уравнение может иметь единственное решение, только в случае, если Необходимым условием существованием единственного решения рассматриваемого уравнения является выполнения условия

Например, система с параметром а обладает свойством алгебраической симметрии, если система не меняется при замене у на х и х на у (график каждого уравнения имеет ось симметрии ). Тогда вместе с решением система имеет решение Рассматриваемая система может иметь единственное решение, только в случае, если Тогда необходимым условием существованием единственного решения рассматриваемой системы является выполнения условия

Если уравнение (неравенство, система) с параметром а обладает свойством алгебраической симметрии, то нахождение единственного решения состоит из двух этапов:

1) Необходимое условие. Используя свойство алгебраической симметрии, находятся значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) может иметь единственное решение.

2) Достаточное условие. Решается уравнение (неравенство, система) при параметрах, найденных в пункте 1). Параметры, при которых рассматриваемое уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение, удовлетворяют условию задачи.

31. При каких значениях параметра а, имеет нечётное число корней уравнение ?

Решение. Так как функция = чётная, то уравнение (1) имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда одним из корней является .

Корнем исходного уравнения является , если

Итак, удовлетворяют условию задачи.

Ответ. .

32. При каких значениях параметра а, имеет единственное решение уравнение ?

Решение. 1. Имеем

Так как функция чётная, то исходное уравнение имеет нечётное число решений тогда и только тогда, когда одним из корней уравнения является .

Корнем уравнения (1) является , если

2. Определим, сколько решений имеет исходное уравнение, если .

а) Если то исходное уравнение принимает вид

.

Итак, если то исходное уравнение имеет три корня.

а) Если то исходное уравнение принимает вид:

Итак, если то исходное уравнение имеет один корень.

Ответ. .

33. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение уравнение _.

Решение. 1. Легко проверить, если то уравнение (1) не имеет решений.

2. Пусть

Пусть .

Так как , то функция чётная.

1) Уравнение (1) может иметь нечётное число решений, если корнем уравнения является .

Корнем уравнения (1) является , если

2) Определим, сколько решений имеет уравнение (1), если

Если то уравнение (1) принимает вид

Очевидно,

Оценим правую часть уравнения (2).

_{Так как функция если возрастает и эта функция нечтная, то}

Так как левая часть уравнения (2) не меньше , а правая – не больше , то уравнение (2) равносильно системе

Итак, если то исходное уравнение имеет один корень.

Ответ. .

34. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение уравнение

Решение. 1. Левая часть уравнения (1) – чётная функция. Если решением уравнения (1) является , то и одновременно является решением этого уравнения. Поэтому уравнение (1) может иметь единственное решение, если решением уравнения является .

2. Решением уравнения (1) является , если

Так как последняя система не имеет решений, то ни при каких значениях параметра а уравнение (1) не имеет единственного решения.

Ответ. Не имеет единственного решения.

35. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение неравенство

.

Решение. 1. Обе части неравенства (1) – чётные функции. Если решением неравенства (1) является , то и одновременно является решением этого неравенства. Поэтому неравенство может иметь единственное решение, если решением неравенства является .

2. Решением неравенства (1) является , если

1) Определим, сколько решений имеет неравенство (1), если

Отметим: если то

Имеем Так как последнее неравенство выполняется при любом значении х,

то не удовлетворяют условию задачи.

2) Если то неравенство (1) принимает вид

Итак, если то неравенство (1) имеет одно решение.

Ответ. .

36. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение система

Решение. 1. Из второго уравнения системы следует, что и . Очевидно, точки и одновременно удовлетворяют первому и второму уравнениям системы. Откуда следует, что система (1) имеет нечётное число решений тогда и только тогда, когда среди решений находится решение . Если решение системы (1), то из

системы (1) следует, что

Из полученной системы следует: решением системы (1) является точка , если , или точка , если .

2. Определим, сколько решений имеет система (1), если .

а) Если , то система (1) принимает вид

Замечание. Целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Рассмотрим первое уравнение системы (2). Очевидно, одним из корней этого уравнения является .

Делителями свободного члена уравнения (2) являются: Проверкой убеждаемся, что корнем уравнения (2) является .

Итак, первое уравнение системы (1) имеет не менее двух корней, которые удовлетворяют условию . Система (2) имеет не менее трёх решений: Это означает, что не удовлетворяет условию задачи.

б) Если , то исходная система принимает вид

Из первого уравнения системы (3) следует, что . А так как , то Легко проверить, что системе (3) удовлетворяет только точка . Тогда удовлетворяет условию задачи.

Ответ. .

37. Найдите все значениях параметра а, при которых имеет единственное решение система

Решение. 1. Так как то

Исходная система перепишется в виде

Легко проверить: если решение системы (1), то и решение системы (1). Тогда система (1) может иметь единственное решение, если решением системы является

2. Если решение системы (1), то система принимает вид

3. Определим, число решений системы (1), если

1) Если то система (1) принимает вид

Рассмотрим первое уравнение системы (2).

Левая часть уравнения не меньше двух (если то ) и равна двум, если Правая часть уравнения не больше двух, если (действительно, имеем ) и равна двум, если . Итак, решением первого уравнения системы (2), при условии, что , является пара , или пара Но пара не удовлетворяет второму уравнению системы (2), а тогда исходная система, если имеет единственное решение – это пара

2) Если то система (1) принимает вид

Квадратное уравнение имеет два корня: ^{, которые удовлетворяют условию . Система (3) имеет два решения: Условию задачи не удовлетворяет.}

3) Если то система (1) принимает вид

Квадратное уравнение имеет два корня: ^{, которые удовлетворяют условию . Система (3) имеет два решения: Условию задачи не удовлетворяет.}

Ответ.

38. Найдите все значениях параметра а, при которых имеет единственное решение система

Решение. Так как система не меняется при замене у на х и х на у, то вместе с решением система имеет решение Тогда необходимым условием существованием единственного решения системы является выполнения условия

Если то первое неравенство системы (1) принимает вид

Последнее квадратное неравенство имеет единственное решение, если равен нулю дискриминант этого неравенства, то есть, если

Если , то система (1) может иметь единственное решение.

Если , то система (1) принимает вид

Решением следствия исходной системы является одна пара Поэтому система (1) имеет не более одного решения и, если эта система имеет решение, то этим решением является пара Проверкой убеждаемся, если , то решением исходной системы является пара

Ответ. _.

39. Найдите все значения параметра а, при которых имеет два решение система

Решение. Если решение системы, то и также решение системы. Так как система не меняется при замене у на х и х на у, то вместе с каждым решением система имеет решение

Итак, если решение системы, то решениями являются

Система (2) может иметь два решения, если совпадают какие-либо два решения.

1) Если

Тогда необходимым условием существования двух решений системы (1) является выполнения условия

Если то первое уравнение системы (1) принимает вид

Итак, если , то система (1) может иметь два решения.

Определим, число решений системы (1), если .

Если , то система (1) принимает вид

Последняя система имеет два решения

Итак, удовлетворяет условию задачи.

2) Если

Тогда необходимым условием существованием двух решений системы (1) является выполнения условия

Если то система (1) принимает вид

Последняя система, а значит и система (1), не имеет решений.

3) Имеем

Ни при каких значениях параметра а пара не является решением системы (1).

4) Если (как 1)).

5) Если (как 3)).

6) Если (как 2)).

Ответ. _.

40. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение система

Решение. Отметим:

1. Легко проверить, если решение системы, то и (система не меняется при замене у на х и х на у).

Система (1) может иметь единственное решение, если

Если то систем (1) принимает вид

Из второго уравнения системы (2) находим, что

Из третьего уравнения системы (2) следует: Тогда

Так как то

Так как то из первого уравнения системы (2) находим: что Система (2) имеет единственное решение, если имеет единственное решение уравнение , то есть, если тогда

Итак, тройка является решение системы (2), если

2. Если , то система (1) принимает вид

Из третьего уравнения системы (3) следует, что . Тогда из первого уравнения системы (3) имеем

Проверкой убеждаемся, что тройка является решением системы (3). Это решение единственное. Итак, если , то исходная система имеет единственное решение.

Ответ. _.

40