2. Дисперсия

Дисперсионное уравнение для волн Россби нетрудно получить с помощью обычной процедуры. Из уравнения движения (1) и уравнения непрерывности для жидкости со свободной поверхностью

(5)

находится решение, разложение которого в ряд по степеням числа Россби — Кибеля (3) с последующей линеаризацией дает уравнение для частоты и фазовой скорости волн Россби произвольной длины [3, 4]:

(6)

(7)

где ; , — волновые числа, соответствующие колебаниям вдоль параллели и меридиана, х — координата вдоль параллели (положительное направление — на восток), у —координата вдоль меридиана (положительное направление — на север), , R — радиус кривизны системы (радиус планеты),

(8)

— характерный размер дисперсии, или радиус Россби — Обухова, H — эквивалентная глубина среды. В случае атмосферы из молекул с массой М и температурой Т

(9)

(10)

где — изотермическая скорость звука. Приведем несколько примеров. Для Земли км, км, для Юпитера км, км, для Сатурна км, км.

Параметр , входящий в (6), (7), определяется соотношением

(11)

или

(11’)

Из (11) видно, что волна Россби возникает вследствие меридиональной неоднородности параметра Кориолиса или глубины жидкости. Это явление называется -эффектом. Направление распространения волны определяется знаком выражения (11). В частности, при , что имеет место, например, в планетной атмосфере или океане однородной глубины,

. (11”)

Фазовая скорость волн Россби при направлена на запад (знак «минус» в (6), (7)). В других условиях, а именно при наличии достаточно большого и направленного на север градиента толщины Н слоя жидкости, фазовая скорость волн Россби, как видно из (11), в принципе, может быть направлена и на восток.

Скорость волн зависит от их длины, . У самых длинных волн фазовая скорость приближается к пределу — так называемой скорости Россби

(12)

В частном случае , согласно (11”),

(12’)

Важно отметить другое приближение, которое практически всегда применяется при теоретическом рассмотрении волн Россби. Это так называемое приближение -плоскости: волны рассматриваются не на сферической поверхности планеты, а на плоскости, касательной к этой поверхности. В этом приближении параметр Кориолиса

(4’)

где у— смещение в -плоскости на север от рассматриваемой точки, причем величина считается не зависящей от у; соответственно (4’)

где R — радиус кривизны меридиана планеты.

3. Нелинейность волн Россби: скалярная и векторная

Согласно теореме Эртеля [3-5] о сохранении («вмороженности») потенциального вихря на мелкой воде

где первое слагаемое в числителе — это локальный вихрь скорости жидкости, — удвоенная проекция вектора угловой скорости системы на местную вертикаль, , — возмущение поверхности жидкости ( ). В рассматриваемом случае двумерного движения можно ввести функцию тока , производные которой ( , ) определяют компоненты скорости жидкости вдоль параллели и меридиана. В режиме геострофического равновесия (2), (3) имеем . Разлагая в ряд и сохраняя члены не выше второго порядка, из теоремы Эртеля получим

(13)

где — якобиан; нижние индексы обозначают дифференцирование по х (вдоль параллели) и у (вдоль меридиана) в ед. a и по t — в ед. ; A, В — коэффициенты, связанные с такими параметрами системы, как , , , . Предполагается, что величина не зависит от у . В уравнении (13) первые два члена определяют дисперсию волн Россби. В самом деле, производя замену , , в линейном приближении из (13) получим дисперсионное уравнение (6). Третий и четвертый члены (13) учитывают две нелинейности волн Россби: скалярную и векторную соответственно. Скалярная нелинейность непосредственно связана с изменением толщины Н слоя жидкости [6]. Она обычно учитывается в уравнениях для нелинейных волн, например в уравнении Кортевега — де Фриза (КдФ) [7, 8], из которого следует солитон возвышения на мелкой воде — первый солитон в истории науки, наблюдавшийся Скоттом Расселом около 150 лет тому назад [9, 10]. Векторная нелинейность может и не быть связана с изменением Н. Разделить эти нелинейности можно лишь в асимптотических модельных ситуациях. Так, скалярная нелинейность исчезает при отсутствии у жидкости свободной поверхности, а векторная отсутствует при одновременном выполнении двух условий: аксиальной симметрии вихря и постоянства скорости Россби в пространстве [11]. Беря отношение третьего члена к четвертому, можно получить следующую условную оценку количественного соотношения рассматриваемых нелинейностей [12]:

(14)

Следовательно, при

(15а)

можно ожидать преобладания скалярной нелинейности, а при

(15б)

преобладания векторной нелинейности. Эти ориентировочные соотношения имеют оценочный характер и полезны для экспериментального поиска тех условий, в которых можно ожидать преимущественного проявления той или другой нелинейности.

Из уравнения (13) следует асимметрия нелинейных свойств циклонов и антициклонов (у циклона ротор скорости параллелен вектору , а у антициклона — антипараллелен). В самом деле, из уравнения (2) геострофического равновесия видно, что у циклона , а у антициклона . При замене циклона на антициклон знаки всех членов уравнения (13), кроме третьего, изменятся на противоположные, а знак третьего члена сохранится. Этот знак таков, что скалярная нелинейность может уравновесить дисперсию (т. е. вызвать эффект, противоположный дисперсии) только в случае антициклона [12]. У циклона же дисперсия и скалярная нелинейность имеют одинаковые знаки и, следовательно, не могут быть взаимно скомпенсированы. Это означает, что если существует «скалярный» солитон Россби (уединенная волна, в которой дисперсионное расплывание скомпенсировано укручением, обусловленным скалярной нелинейностью), то он может быть только антициклоном, т. е. только солитоном возвышения, как и классический солитон Рассела. Эта циклон-антициклонная асимметрия в существенной мере определяет возможность (или невозможность) формирования уединенных вихрей различной полярности.

Природные планетарные вихри типа Большого Красного Пятна Юпитера (БКПЮ), а также одиночные (монопольные) вихри Россби удовлетворяют соотношению (15а). Неучет скалярной нелинейности — принципиальный недостаток первой солитон-ной модели БКПЮ (см. п. 2.2). В условиях же существования дипольных вихрей, возможно, преобладает векторная нелинейность — в соответствии с соотношениями (14), (15а), (15б).

Существенная разновидность векторной нелинейности возникает при наличии градиента величины скорости Россби вдоль меридиональной координаты у (когда в уравнении (13) ). Этот градиент может быть обусловлен изменением вдоль у любого из параметров, входящих в выражения (11), (12). Нелинейность, связанная с зависимостью и формируемые ею топографические солитоны Россби, может проявляться в атмосферах планет и в океанах [13].