5. Аналогия с дрейфовыми волнами в плазме

Существует глубокая аналогия между волнами Россби и так называемыми дрейфовыми (градиентными) волнами в плазме, удерживаемой от поперечного расплывания сильным продольным магнитным полем. В случае дрейфовых волн роль, аналогичную силе Кориолиса, играет сила Лоренца. И так же, как волны Россби возникают вследствие поперечной (к направлению локальной угловой скорости системы) неоднородности параметра Кориолиса или глубины жидкости, дрейфовые волны возникают вследствие поперечной (к магнитному полю) неоднородности температуры электронов или плотности плазмы. Пространственным масштабом дисперсии дрейфовых волн является «ларморовский радиус ионов при электронной температуре», аналогичный радиусу Россби — Обухова и равный отношению скорости ионного звука к ларморовской частоте вращения ионов в магнитном поле , а сама величина аналогична параметру Кориолиса . Удельному гидростатическому давлению аналогична величина . Аналогом скорости Россби является характерная дрейфовая скорость , величина и знак которой определяются пространственными (поперечными) градиентами параметров плазмы и магнитного поля; эта скорость пропорциональна «дрейфовому» коэффициенту , аналогичному коэффициенту для волн Россби (11). Пространственная ориентация дрейфовых волн определяется волновыми числами и соответствующими азимутальной координате х (вдоль «параллели» вокруг направления магнитного поля) и радиальной координате у (поперек магнитного поля). Дисперсионное уравнение для дрейфовых волн оказывается аналогичным уравнению для волн Россби. Указанная аналогия между двумя типами волн в столь различных средах, по воспоминаниям А. М. Обухова, впервые была замечена М. А. Леонтовичем около 20 лет тому назад и далее рассматривалась другими авторами [18, 19]. Аналогично гидродинамическим дрейфовым солитонам Россби можно ожидать существования дрейфовых солитонов в замагниченной плазме.

2. Солитоны Россби

   1. Уединенная волна Россби как результат равновесия между дисперсией и нелинейностью

Волнам Россби свойственно следующее сочетание дисперсии и нелинейности (7): дисперсия отрицательна (фазовая скорость падает с увеличением волнового числа), а нелинейность положительна: фазовая скорость (7) возрастает с увеличением амплитуды волн, т. е. высоты жидкости Н (поскольку ). Такое сочетание свойств является необходимой предпосылкой возможности существования уединенной волны — в виде (вращающегося) возвышения жидкости, имеющей свободную поверхность (рис. 1).

Рис. 1. Антициклон — равновесное возвышение поверхности вращающейся несжимаемой жидкости. F_кор — сила Кориолиса, а — Траектория частицы вихря, б — Профиль высоты жидкости

В самом деле, участкам возвышения (крутым склонам профиля), с одной стороны, соответствует меньшая фазовая скорость (из-за отрицательной дисперсии), а с другой стороны, большая фазовая скорость из-за положительной нелинейности; в результате возможна (не исключена) компенсация дисперсионного расплывания волнового пакета (которое свойственно классическому линейному пакету волн) его нелинейным самосжатием с образованием уединенной волны (солитона). В случае волны понижения (профиль высоты в виде ямки) эффекты дисперсии и нелинейности были бы направлены в одну и ту же сторону, и нелинейность только усугубила бы дисперсионное расплывание. Поэтому уединенная волна углубления в данном случае невозможна. Но рассматриваемое равновесное возвышение (радиус а, амплитуда ), согласно уравнению геострофического равновесия (2),

(2’)

должно вращаться в сторону, противоположную локальной скорости вращения системы: в этом случае сила Кориолиса, действующая на круговой ток частиц в вихре, направлена к центру вихря и уравновешивает гидростатическое давление, связанное с возвышением. Следовательно, ожидаемый солитон Россби может быть антициклоном и не может быть циклоном. В среде с однородной величиной Н солитон должен распространяться на запад.

Приводимые качественные соображения позволяют представить себе также возможные размеры солитона. В самом деле, из дисперсионного уравнения (6) и графика рис. 2 видно, что на длинных волнах Россби ( ) дисперсия исчезает и преобладает нелинейность; на коротких волнах, напротив, преобладает дисперсия; длинные волны отделяются от коротких в районе точки , соответствующей максимуму дисперсионной функции .

Рис. 2. Дисперсионная кривая для волн Россби: зависимость угловой частоты волны от волнового числа kx, соответствующего движению вдоль параллели

Поэтому взаимная компенсация дисперсионного расплывания и нелинейного самосжатия (результатом которой должно быть образование солитона) возможна лишь там, где существенны как нелинейность, так и дисперсия, т. е. несколько левее точки экстремума, . Это значит, что характерный размер солитона должен быть несколько больше . И чем больше амплитуда, тем правее на рис. 2 располагается солитон, т. е. тем меньше его размер.

Изложенные соображения иллюстрируют физический смысл не только «скалярного», но и «векторного» монопольного солитона Россби. Это следует из того факта, что и векторный солитон (один из размеров которого существенно больше, чем другой, и больше радиуса — как в БКПЮ) описывается уравнением типа КдФ [20].