11. Апериодическое звено второго порядка. Его математические модели, характеристики и свойства. Технические примеры.

Апериодическое звено 2-ого порядка

Описывается уравнениями

или

где T₁, T₂– постоянные времени (T₁> 2T₂). При этом корни характеристического уравнения являются вещественными и отрицательными. Знаменатель передаточной функции апериодического звена 2-ого порядка может быть разложен на множители

где  ;  .

В связи с этим, апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, соединенным последовательно между собой и имеющим коэффициент усиления k и постоянные времени T₃ и T₄.

Переходная функция апериодического звена второго порядка имеет вид

Д ифференциальное уравнение, описывающее динамику звена:

или (а₂р² +а₁р+а₀)*у=в_0*х

в канонической форме:

передаточная функция: W_В (p)=К/[(Т₁р+1)(Т₂р+1)];

теоретическая кривая h(t):

Апериодическое звено второго порядка так же, как и звено первого порядка, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты.

Инерционными звеньями второго порядка являются обычно такие конструктивные элементы автоматических систем, которые содержат два накопителя вещества или энергии: последовательное соединение двух гидравлических емкостей (рис. 3.8,а) или последовательное соединение двух цепей RС (рис. 3.8,б).

а	б
Рис. 3.8. Примеры апериодических звеньев второго порядка

12. Колебательное звено второго порядка. Его математические модели, характеристики и свойства. Технические примеры.

а ) Дифференциальное уравнение, описывающее динамику звена:

или (а₂р² +а₁р+а₀)*у=в_0*х

в канонической форме:

б ) аналитическое выражение переходной характеристики h(t):

в ) передаточная функция: W_К (p)=К/(Т²р²+2Тр+1);

г) теоретическая кривая h(t):

Амплитуды первых двух колебаний определяют величину - .

Чем ближе коэффициент затухания к единице, тем меньше амплитуда колебаний, чем меньше Т, тем быстрее устанавливаются переходные процессы.

Структурная схема колебательного звена будет выглядеть следующим образом:

Примером колебательного звена является любая RLC - цепь.

Свойства колебательного звена определяются тремя параметрами: постоянной времени Тк, относительным коэффициентом затухания и передаточным коэффициентом

Примеры элементов систем автоматического регулирования, которые могут рассматриваться как устойчивое колебательное звено: а — сообщающиеся сосуды, соединенные через гидравлическое сопротивление — масса М, соединенная с пружиной F и снабженная катарактом К; в — электрическая цепь 

13. Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка).

Апериодическое это такое звено, которое описывается дифференциальным уравнением:

Tdy(t)/dt + y(t) = kx(t)

где: k – коэффициент усиления. Т – постоянная времени апериодического звена, сек.

Структурная схема выгляди следующим образом.

 

х (t) y(t)

 

Рис.53. Представление апериодического звена на структурных схемах.

Передаточная функция апериодического звена равна:

W( p) = k/ (Tp + 1).

 

Переходная характеристика апериодического звена представлен на рисунке 54. Такой процесс называется монотонным, он близок к апериодическому.

Рис. 54. Переходная функция апериодического звена

 

Коэффициент усиления звена определяет уровень, к которому стремится переходная характеристика с течением времени. Касательная, проведенная в начале координат к переходной характеристике, пересекает этот уровень в момент времени, равный постоянной времени апериодического звена Т.

Апериодическое звено не сразу, а постепенно реагирует на ступенчатое воздействие, в этом и проявляется его инерционность, которая численно может характеризоваться величиной постоянной времени, поскольку переходный процесс заканчивается примерно за 3Т. За время 3Т переходная характеристика достигает 95% уровня, к которому она стремиться при стремлении времени к бесконечности.

В качестве примера апериодического звена можно привести RC – цепочку, если за входное воздействие принять напряжение u. Здесь постоянная времени T = RC , а коэффициент k = 1 . Размерность постоянной времени [ RC ]=сек. Коэффициент усиления в силу одинаковой природы входного выходного сигналов безразмерен и равен в данном случае единицы. Другими примерами могут служить: термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

 

 

Рис. 55. Примеры апериодических звеньев.