26 Вопрос. Понятие устойчивости системы: физическое и математическое

_{Работоспособная САУ должна быть устойчивой. Функциональным признаком устойчивой САУ является ее возврат в исходное положение после окончания действия внешних возмущающих сил или, что одно и то же, ограниченному по величине внешнему воздействию соответствует}

_{ограниченное по величине изменение выходных величин.} Система автоматического регулирования называется устойчивой, если после снятия возмущающего воздействия, которое вывело её из состояния равновесия, она вновь возвращается в состояние равновесия. Если система не возвращается в состояние равновесия после снятия возмущения, она неустойчива.

Для определения математического условия устойчивости САР необходимо решить дифференциальное уравнение системы, когда правая часть этого уравнения равна 0 (при снятии возмущающего воздействия), и посмотреть, как ведет y_вых (t) .при t

Пусть 

Тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме:

α_npⁿy(p) + ... +α₁py(p) +α_oy(p) =b_mp^mx(p) + ...+ b₁px(p) + b_ox(p)

Оригинал дифференциального уравнения:

Для определения устойчивости системы, описываемой этим уравнением, снимем возмущения x(t)=0 и решим уравнение:

Для этого запишем характеристическое уравнение:

H(p) = α_npⁿ + .... +α₁p+α_o= 0.

_{Аналитическое определение устойчивости САУ осуществляется по ее передаточной функции.}

_{Выражение для передаточной функции САУ после подстановки в него значений передаточных функций звеньев и осуществления алгебраических преобразований (перемножений и приведения подобных членов) представляется в виде дроби:}

_,

_{где А(р) и В(р) – степенные полиномы относительно оператора р.}

_{Из (3.51) следует:}

_{чтобы установить, устойчива САУ или нет, необходимо:}

_{– во-первых, найти передаточную функцию замкнутой системы;}

_{– во-вторых, приравнять знаменатель этой передаточной функции к нулю, т.е. получить уравнение, называемое характеристическим уравнением. Необходимо отметить, что передаточные функции по управлению, возмущению или ошибке управления (3.23), (3.24) и (3.25) имеют одинаковые знаменатели, т.к. свободное движение САУ не зависит от внешних воздействий;}

_{– в-третьих, найти корни характеристического уравнения. Если все корни уравнения имеют отрицательные вещественные числа, то САУ устойчива. Если хоть один из “n” корней имеет положительную вещественную часть, то САУ – неустойчива. Нулевое значение вещественной части корня говорит о том, что в САУ будут генерироваться колебания с постоянной амплитудой и частотой.}

25 Вопрос. Доказать, что если хотя бы один положительный действительный корень, или пара комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью, система будет неустойчивой

Рассмотрим математическую сущность устойчивости и неустойчивости линейных стационарных САУ. Согласно данному выше физическому определению устойчивость зависит только от характера свободного движения системы. Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением

,                                                           

где x(t) = xсв(t) - свободная составляющая выходной величины системы.

Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и правой части дифференциального уравнения (2.1), на устойчивость системы не влияет.

Система является устойчивой, если свободная составляющая xсв(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если

                                                                                                                  

Очевидно, что при этом выходная величина системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой правой частью уравнения. Устойчивость в смысле условия (4.2) принято называть асимптотической.

Если свободная составляющая неограниченно взрастает, т.е. если

                                       ,                                                                         

то система неустойчива.

Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением, устойчива. Решение уравнения

                                      xсв(t) =  ,                                                                 

где      Ck - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий;

            pk - корни характеристического уравнения

                                    .                                                          

Корни характеристического уравнения могут быть действительными (pk=ak), мнимыми (pk=jbk) и комплексными

                                      pk=ak  ±  jbk,                                                                       

причем как комплексные, так и мнимые корни попарно сопряжены.

Свободная составляющая (4.4) удовлетворяет условию устойчивости, если каждое слагаемое вида  . Характер этой функции времени зависит от вида корня pk.

Рассмотрим все возможные случаи расположения корней характеристическо­го уравнения на комплексной плоскости и соответствующие им функции xсв(t), которые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа)

1) Каждому действительному корню pk=ak в решении соответствует слагаемое вида

                                      xсвk(t) =  .                                                        

Если ak<0 (корень p1), то функция плавно стремится к нулю. Если ak>0 (корень p3), то функция неограниченно возрастает. Если ak=0 (корень p2), то эта функция остается постоянной.

2) Каждой паре сопряженных комплексных корней pk=ak+jbk и pk+1=ak‑jbk  в решении соответствуют два слагаемых, которые могут быть объединены в одно слагаемое

                          xсвk(t) = 2 sin(bkt+yk).                                                           

Функция представляет собой синусоиду с частотой bk  и амплитудой, изменяющейся по экспоненте. Если ak<0 то колебательная составляющая будет затухать.

Если ak>0 (корни p8 и p9),то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если ak=0 (корни p6 и p7), т.е. оба сопряженных корня - мнимые (pk=jbk,  pk+1=-jbk),  то xсвk(t)=2 sin(bkt+yk) - незатухающая синусоида bk.

Если среди корней характеристического уравнения (4.5) имеются l равных между собой корней pl, то в решении (4.4) вместо l слагаемых вида   появится одна составляющая

                           .                                                          

Учитывая, что функция вида    при любом b убывает быстрее, чем возрастают слагаемые вида  , можно доказать, что и в случае кратности корней решение будет стремиться к нулю лишь при отрицательности действительной части кратных корней pl.