§58. Цикл Карно и его к.П.Д. Для идеального газа

Основываясь на втором начале термодинамики, Н. Карно вывел теорему, носящую теперь его имя: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (T₁) и холодильников (T₂), наибольшим к.п.д. обладают обратимые машины; при этом к.п.д. обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей и холодильников, равны друг другу и не зависят от конструкции машины.

Цикл, изученный Карно, является самым экономичным и представляет собой круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем. Определим его к.п.д.

Цикл Карно схематически изображен на рис. 87, где изотермическое расширение и сжатие задано соответственно кривыми 1-2 и 3-4, а адиабатические расширение и сжатие — кривыми 2-3 и 4-1. При изотермическом процессе U = const, поэтому, согласно (54.4), количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А₁₂, совершаемой газом из состояния 1 в состояние 2:

(58.1)

В середине XIX в. возникла проблема так называемой тепловой смерти Вселенной. Рассматривая Вселенную как замкнутую систему и применяя к ней второе начало термодинамики, Клаузиус свел его содержание к утверждению, что энтропия Вселенной должна достигнуть своего максимума. Это означает, что со временем все формы движения должны перейти в тепловую. Переход же теплоты от горячих тел к холодным приведет к тому, что температура всех тел во Вселенной сравняется, т. e. наступит полное тепловое равновесие и все процессы во Вселенной прекратятся — наступит тепловая смерть Вселенной. Ошибочность вывода о тепловой смерти заключается в том, что бессмысленно примерять второе начало термодинамики к незамкнутым системам, например к такой безграничной и бесконечно развивающейся системе, как Вселенная.

При адиабатическом расширении 2-3 теплообмен с .окружающей средой отсутствует и работа расширения А₂₃ совершается за счет изменения внутренней энергии (см. (55.1) и (55.8)):

Теплота Q₂ отданная газом холодильнику при изотермическом сжатии, равна работе сжатия А₃₄:

(58.2)

Работа адиабатического сжатия

Работа, совершаемая в результате кругового процесса, и; как можно показать, определяется заштрихованной на рис. 87 площадью.

Термический к.п.д. цикла Карно, согласно (56.2),

Применив уравнение (55.5) для адиабат 2-3 и 4-1, получим

откуда

(58.3)

Подставляя (58.1) и (58.2) в формулу (56.2) и учитывая (58.3), получим

(58.4)

т. е. для цикла Карно к.п.д. действительно определяется только температурой нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при T₁ = 400 К и T₂ = 300 К = 0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холодильника понизить на 50 К, то = 0,5. К.п.д. всякого реального теплового двигателя ввиду трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.

Теорема Карно послужила основанием для установления термодинамической шкалы температур. Сравнив левую и правую части формулы (58.4), получим

, (58.5)

т. е. для сравнения температур T₁ и Т₂ двух тел необходимо осуществить обратимый цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, и другое — холодильника. Из равенства (58.5) видно, что отношение температур тел равно отношению отданного в этом цикле количества теплоты к полученному количеству теплоты. Согласно теореме Карно, химический состав рабочего тела не влияет на результаты сравнения температур, поэтому такая термодинамическая шкала не связана со свойствами какого-то определенного термометрического вещества.