Жүйенің еркін тербелісінің бас координатамен алынған дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі

_{жалпыланған координаталармен келесі теңдеулер түрінде тәуелділікте болатын жаңа , жалпыланған координаталарды енгізейік:}

_{мұндағы} - таралу коэффициенті.

Қысқаша түрде

_{Осы формулаларды пайдаланып, жүйенің потенциалды және кинетикалық энергияларын табамыз:}

_немесе

_Немесе

_{егер болса, таралу коэффициенттері анықтауыштарының минорына пропорционал болғандықтан, барлық қосындылар}

_{нөлге тең болады.}

_{m=n болғандағы бұл қосындылардың мәндерін және деп белгілесек,}

_{Сонымен, жүйенің П потенциалды энергиясы тек жалпыланған координаталарының квадраттарымен өрнектелген, ал кинетикалық энергия - жалпыланған жылдамдықтардың квадраттары арқылы өрнектелген. Мұндағы координаталарын жүйенің бас немесе қалыпты координаталары деп атайды.}

_{Еркіндік дәрежесі шекті сан болатын жүйенің еркін тербелісінің бас координаталар арқылы жазылған дифференциалдық теңдеулері мынадай қарапайым түрге келеді}

_(4.5.1)

_{………………}

_{Бас тербелістер жиіліктері жүйенің орнын анықтайтын жалпыланған координаталарды таңдап алуымыздан тәуелді емес. Сәйкесінше,}

_{Олай болса, (4.5.1) дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімі былай жазылады:}

_{Мұндағы және тұрақтылары әдеттегі ереже бойынша есептің бастапқы шарттарынан анықталады:}

_{Жүйенің бас координаталарын алдын-ала анықтау мәселесі, жүйенің еркін тербелісін кәдімгі алдын ала белгілі q жалпыланған координаталары арқылы толық зерттеу кезіндегі қиындықтағы есеп болып табылады.}

_{Бас координаталар жүйенің мәжбүр тербелісін зерттеуге ыңғайлы, себебі бұл жағдайда жүйе қозғалысын бір-бірінен тәуелсіз дифференциалдық теңдеулер түрінде қарастыруға болады, ал бұл есепті шешуді әлдеқайда жеңілдетеді.}