1. Для частных (групповых) средних

2. Между средними по фактору а

2. Между средними по фактору в и взаимодействию ав

HCP0S = tQ5 *Sd = 2. 1 * 0.14ц/ га = 0.29ц I га

Результаты опыта для наглядности сводим в таблицу

Таблица 16 - Результаты опыта

Орошение, фактор (А)	Кол-во растений на га, фактор (В)			средние по фак­тору А (НСР05=0.23)
	50	70	90
Без орошения	26.4	26.7	25.4	26 .2
Обильное	27.0	27.7	27.6	27.43
Средние по фактору В (НСР05=0.29	26.7	27.2	26.5

НСРо5=О,42 для сравнения частных средних.

Таким образом, в нашем примере разность между группо­выми средними превышает границу их варьирования под воздейст­вием случайных факторов, и мы можем сделать вывод о том, что уровни действия и взаимодействия факторов различаются зна­чимо.

Контрольные вопросы.

1. Изложите общий алгоритм многофакторного 32

дисперсионного анализа.

2. Виды взаимодействия факторов на результативный признак?

3. Что понимается под градациями факторов?

4. Как в многофакторном опыте производится разложение общей дисперсии на составляющие?

5. Корреляция и регрессия

Цель занятия. Освоить проведение парного линейно­

го регрессионного и корреляционного анализов.

Задание:

1.Изучить основные формулы расчета для установления кор­реляционной зависимости .

2.Изучить формулы и основные этапы проведения регрессионного анализа.

Рассмотренные ранее методы статистического анализа по­зволяют оценить экспериментальные данные в отношении точно­сти результатов и достоверности выводов, то есть установить те допустимые пределы, в которых сделанные выводы являются оп­ределенными и достаточно надежными.

Между тем во многих агрономических исследованиях важно установить зависимость между признаками и ее характер. Напри­мер, существует ли связь между урожаем плодов и количеством плодовых деревьев на единице площади сада или количеством выпавших осадков и т.п. К установлению парных зависимостей типа у = fix относится подавляющее большинство агрономиче­ских исследований.

В научных исследованиях экспериментатор сталкивается с двумя видами связей изучаемых явлений: функциональными и корреляционными.

Принято называть значения:

х - независимая переменная , аргумента .

у - зависимая переменная, функция, результативный признак.

Функциональными называются связи, когда каждому зна­чению одной величины х соответствует строго определенное зна­чение другой величины у. Но чаще встречаются такие связи, когда каждому значению признака соответствует множество значений у, в том числе и одинаковым. Такие связи называются корреляци­онными (латинское слово correlatio - соотношение).

Виды корреляции и регрессии.

Для установления тесноты зависимости между признаками в математической статистике разработаны специальные методы, по­зволяющие определить силу и форму связи. Это корреляционный и регрессионный анализы.

Корреляционный анализ определяет направление и степень связи признаков. Регрессионный анализ устанавливает количест­венное изменение функции у при изменении х на единицу измере­ния.

По форме корреляция может быть линейная и криволинейная, по направлению прямая и обратная, положительная и отрицатель­ная. Под линейной (прямолинейной) корреляционной зависимо­стью между двумя признаками х и у понимают такую зависимость, которая носит линейный характер и выражается уравнением пря­мой линии у = а + bx. Линейная регрессия у на х показывает, как изменяется в среднем величина у при изменении величины х. Если при увеличении х величина у в среднем увеличивается, то корре­ляция и регрессия называется положительной или прямой, а если с увеличением х значение у в среднем уменьшается - отрицатель­ной, или обратной.

Корреляционный анализ.

Для анализа линейной корреляции между х и у проводят n

независимых параллельных наблюдений (xi; у₁), (х₂; у₂), (х_п; у_п). По этим значениям определяют коэффициент корреляции r.

r = S (х-х) (у-у) (23) или

VE(x-x)² Е(у-у)²

r = £ху-( Sx —у): п (24)

VEx²-(Ex)²: п (Еу²-(Еу)²: п .

Коэффициент r изменяется в области -i< r< +i. При очень тесной связи, приближающейся к функциональной, r=+i для по­ложительных связей, и r=-i для отрицательных. Чем ближе r к +i или к -i, тем теснее прямолинейная корреляционная связь. При­ближение r к 0 свидетельствует об ослаблении корреляционной связи. При r=0 линейная связь отсутствует, но может существовать криволинейная зависимость.

Связь двух зависимых величин более точно измеряется квад­ратом коэффициента корреляции (r²), который называется коэф­фициентом детерминации.

Например, при r= 0,5; r²=0,25 или 25% т. е. 25% изменчиво­сти одного признака вызывает изменчивость другого.

Считается, что при

r<0,3- корреляционная зависимость слабая; r=0,3-0,7 - средняя; r>0,7 - сильная.

Надежность выборочного коэффициента корреляции опреде­ляют его ошибка и критерий существенности. Стандартную ошиб­ку определяют по формуле:

Sr = 1-r² (25)

п-2

которым вычислен выборочный коэффициент корреляции. Критерий существенности коэффициента корреляции рассчитыва­

ется по формуле:

Если t ф_акт. > t _теор. - корреляционная связь существенная,

когда t ф_акт. < t _теор. - несущественная.

Регрессионный анализ.

Чтобы установить количественное изменение результативно­го признака при изменении факториального на единицу измерения, пользуются регрессионным анализом.

Уравнение линейной регрессии у по х имеет вид:

У = у - b ух (х- х ) (26),

где х и у - средние арифметические для ряда х и у.

Ь_ух - коэффициент регрессии у по х.

Коэффициент регрессии вычисляют по формулам:

Ьух= S ^{(х-х) (}у^-у) и Ьху= S ^{(х-х) (}у^-у) (27)

Е(х-х)² Е(у-у)²

Произведение коэффициентов регрессии равно квадрату ко­эффициента корреляции:

Ьух -Ьху= Г² (28)

Ошибку коэффициента регрессии вычисляют по формуле:

Sb>x=x S (у-у)² и Sbxy E (х-х)² (29)

Е(х-х)² E (у-у)²

Критерий существенности равный

tb= b ( 30),

Sb

критерию существенности коэффициента корреляции .

Пример. С помощью корреляционного и регрессионного анализов требует определить тесноту зависимости площади поперечного сечения штамба и урожая плодов с дерева.

Таблица17 - Зависимость урожая плодов от площади поперечного сече­ния штамба

№ пары	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Площадь поперечного сечения штамба, см	151	128	141	121	133	109	176	113	128	140
Урожай плодов с дерева, кг	21	18	20	16	17	16	26	17	19	20

Для того, чтобы вычислить коэффициенты корреляции и регрессии составляют вспомогательную таблицу 18 .

№	Значения признаков			Х2	У2	ху
	площадь поперечно­го сечения штамба, см2 х	урожай с дере - ва, кг у
1	151	21	22801		441	3171
2	128	18	16384		324	2304
3	141	20	19881		400	2820
4	121	16	14641		256	1936
5	133	17	17689		289	2261
6	109	16	11881		256	1744
7	176	26	30976		676	4576
8	113	17	12769		289	1921
9	128	19	16384		361	2432
10	140	20	19600		400	2800
Сумма	Ех = 1340	Еу=190	Ех2= 183006		Еу2= 3692	Еху= 25965

Таблица 18 - Вспомогательная таблица для вычисления коэффициентов

корреляции и регрессии

Затем вычисляют :

х = (Ех) : n = 1340 : 10 = 134 см² у = (Еу) : n = 190 : 10 = 19,0 кг

Е(х-х)²= Ех² - (Ех)² : n = 183006-(1340)² : 10 = 183006 - 1795600:10 = 183006-179560 =3446

Е (у-у)² = Еу² - (Еу)²: n = 3692 - (190)²: n =

3692 - 36100 : 10 = 3692 - 3610 = 82

Е(х-х) (у-у) = Еху - (Ех- Еу) :10 = 25965 - (1340 х 190) : 10 =

25965 - 254600: 10 = 25965 - 25460 = 505

Коэффициент корреляции r:

r = £ (х-х) (у-у) = 505 = 505 = 505 = 0,95

Л. Г. Рязанова, А. В. Проворченко, И. В. Горбунов 1

Рецензент: 2

Рязанова Л. Г. 2

СОДЕРЖАНИЕ 3

1. Определение основных статистических показателей количественной изменчивости 5

SX 7

2. Методы оценки существенных различий между вариантами опыта 12

X ± tSx, 13

Sd = ^1,25²+0,46² = А 1,56+0,21 = ^1,77 = 1,33 16

НСР = 2,98X1,33 =3,9 17

Контрольные вопросы 17

Sf (x-x)² 19

N 21

L -1 4 24

Sx%=Sx . 100 = 0,7 .100 =1,5%; x 45 25

НСР05 = t 05 х Sd = 2,18 х 1 = 2,2 25

Контрольные вопросы 26

4. Дисперсионный анализ многофакторного опыта 26

варьирование вариантов 29

♦ остаточное варьирование 29

2. между средними по фактору А 33

3. между средними по фактору В и взаимодействию АВ 33

Контрольные вопросы. 34

5. Корреляция и регрессия 35

r = £ху-( Sx —у): п (24) 37

Регрессионный анализ. 38

Ьух= S ^{(х-х) (}у^-у) и Ьху= S ^{(х-х) (}у^-у) (27) 38

Sb>x=x S (у-у)² и Sbxy E (х-х)² (29) 38

Е(х-х) (у-у) = Еху - (Ех- Еу) :10 = 25965 - (1340 х 190) : 10 = 40

у= у + Ьу_Х (х-х) = 19 + (0,146) (х- 134)= 19 +0,146х - 19,5 = 0,146х - 0,5 42

Контрольные вопросы 43

6. Индивидуальные задания по определению существенных различий между вариантами опыта 44

7. Индивидуальные задания по определению 52

Рекомендуемая литература 57

Уравнение регрессии у по х:

у= у + Ьу_Х (х-х) = 19 + (0,146) (х- 134)= 19 +0,146х - 19,5 = 0,146х - 0,5

Стандартную ошибку корреляции:

Sr = 1-r² = ^1-0,95 = 0,08

n-2 10-2

Ошибку коэффициента регрессии :

tr = r = 0,95 = 11,9

Sr 0,08

t теор. для числа степеней свободы n - 2=10-2=8 на 5% уровне значимости по таблице приложений 1 равен - 2,31

t факт > t теор., следовательно нулевая гипотеза опровергается и связь между изучаемыми признаками существенная.

По уравнению регрессии у = 0.146х - 0,5 рассчитываем усред­ненные теоретические значения у для экспериментальных вели­чин х и строим теоретическую линию регрессии.

Полученная теоретическая линия регрессии

показывает, что увеличению площади поперечного сечения штам­ба дерева на 1см^{1 2 3 4 5 6}, соответствует увеличение урожая плодов с де­рева на 0,146 кг.

Зависимость между этими признаками сильная, о чем свиде­тельствует r = 0,95 и существенная т. к. t факт. > t теор.; 11,9 >2,31