4. Основные свойства определенного интеграла.

1-е свойство: при перемене местами пределов интегрирования интеграл поменяет знак. Док-во: предположим, что , , (2), , т.к. . Тут рисунок, там две параллельные числовые прямые, на верхней точки a, , на нижней прям под этими точками Следствие: если в интеграле нижний предел совпадает с верхним, то интеграл = 0. , . 2-е свойство: линейность интеграла. Пусть имеется две функции: f(x) и g(x), интегрируемые на [a,b], тогда A*f(x)+B*g(x) интегрированы на [a,b]. Док-во: , ч.т.д. 3-е свойство: аддитивность интеграла. При любом расположении точек a,b,c выполняется равенство: (3). Геометрическое док-во: , F=F1+F2. Там рисунок числовая ось, кривая, на ее концах пунктиры вниз на ось х, в точки a,b,c. 4-е свойство: интегрирование неравенств: . Пусть для выполняется неравенство: , тогда: (4) Док-во: рассмотрим разность , следовательно (4). Следствия: 1) Пусть (5) 2) Пусть , пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], пусть существует точка , тогда (6) рисунок: оси xy, на х точки а, с1, х0, с2, b, кривая от точки а до б. , ч.т.д. 5-е свойство:

5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.

Пусть f(x) определена и интегрируема для . Возьмем точку и рассмотрим Теорема: Пусть f(x) непрерывна для . Тогда (1) является дифференцируемой функцией t, т.е. имеет производную ф’(t) и выполняется равенство: (2). Доказательство: 1) . Рисунок: оси ху, на х точки а, т, т+дт, б, кривая с пределами в а и б, пунктиром подняты т и дт и при пересечении образуют точки m и М, пространство между этими двумя пунктирными линиями обозначена за дт. , , , –наим. Значение, , , пусть , , ч.т.д. 2)Общий случай, f(x) – любая. Рисунок: ось ху, точки а и б, парабола с концами в + зоне, дном в – зоне, пунктиры от a и b до концов параболы, и кривая, отражающая дно параболы в + зону. f+(x) над пунктиром от а, f-(x) под пунктирной прямой, f(x) над пунктиром над б. , , , , ч.т.д.

6. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна для , пусть F(x) – какая-нибудь ее первообразная, тогда (1) Док-во: Рассмотрим . По теореме Барроу: –первообразная для f(t), по условию F(t) тоже первообразная для f(t), отсюда: Если t=a, то , ч.т.д.

7. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

По частям: Теорема: пусть u=u(x), v=v(x), дифференциалы . . Док-во: , , ч.т.д. Замена: Теорема: пусть f(x) непрерывна для , функция x=ф(t) дифференцируема для , , , тогда справедливо, что (2) (т.к. dx=ф’(t)dt). Док-во: т.к. f(x) непрерывна для , то она имеет первообразную F(x). На основании формулы Ньютона-Лейбница: . Рассмотрим F(ф(t)), F(ф(t))’_t=F’(ф(t))*ф’(t)=f(ф(t))*ф’(t), F(ф(t))-первообразная для f(ф(t))*ф’(t), по формуле НЛ имеем: (4). Из (3) и (4) следует (2), ч.т.д.

8. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла (случаи одной и двух функций).

Теорема: Если f(x), g(x) непрерывна для x=a, x=b, g(x) знакопостоянна, либо , тогда существует точка с между точками а и б, для которой (1). Док-во: 1) a=b: (1) тривиально 2) a<b: пусть . (2₁) –(1) тривиально, (2₂) Существует точка x₀ такая, что g(x₀)>0 , по свойству интеграла. Т.к. f(x) непрерывна для , то по теореме Вейр-Штрассе функция принимает наибольшее и наименьшее значения: m=minf(x), M=maxf(x). , , , по т. Больцано-Коши, существует такая точка , что , ч.т.д. (2₃) , по доказанному существует точка , . 3) a>b. b<a, тогда (1).