6. Признаки сравнения (в непредельной и предельной формах).

В непредельной форме: Рассмотрим два ряда с положительными членами: (1) (2). Теорема 2: Предположим, что при всех натуральных n выполняется неравенство (3), тогда: 1) если (2) сходится, то и (1) сходится, 2)если (1) расходится, то (2) расходится. Док-во: Пусть (2) сходится, по Т1 (Общее условие сходимости рядов с положительными членами) тогда его частичные суммы ограничены сверху некоторым числом A, т.е. (4). Обозначим через частичную сумму ряда (1) В силу (3) (5), по Т1 – ряд сходящийся. В предельной форме: (6). Если , тогда (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. . Выберем два числа . Существует номер N такой, что для всех номеров будет выполняться неравенство: (7). Умножим , тогда: (8) (9). Итак, пусть ряд (2) сходится, тогда сходится его N-ный остаток, значит сходится и ряд вида . В силу неравенства (9) следует, что по Т2, что будет сходиться и N-ный остаток ряда (1), а значит сходится и сам ряд (1). Пусть (2) расходится => N-ный остаток значит тоже расходится и ряд вида: => будет расходиться N-ый остаток ряда (1), а значит и сам ряд (1) расходится. Замечание: признак сходимости в предельной форме обычно применяют в случае, когда N член ряда (1) имеет . В качестве ряда сравнения (2) берется такой ряд:

7. Признак Даламбера (в непредельной и предельной формах)

: Рассмотрим два ряда с положительными членами: (1) (2). Лемма: Если при всех выполняется (3). Тогда: 1) если (2) расходится, то (1) тоже , 2) если (1) расходится, то (2) тоже. Доказательство: запишем (3) для различных n , начиная с n=1. , , , , , . Если (2) сходится, тогда и сходится =>(1) сходится. Признак Даламбера в предельной форме: 1)Если при всех выполняются неравенства (5), то ряд (1) сходится. Теорема: Если при всех выполняются неравенства (6), то ряд (1) расходится. Доказательство 1: Рассмотрим геометрическую прогрессию вида: (7) . , (8). Т.к. ряд (7) сходящийся и выполнено (8), то по Лемме, ряд (1) – сходящийся. Док-во 2: (9) , – расходящийся. , , (10). На основании Леммы – ряд расходящийся. Теорема: пусть существует предел . 1)Если -сходящийся, 2)Если -расходящийся, 3)Если теорема ничего не утверждает. Док-во: 1) . Выберем q так, чтобы q: . Существует N, . (11). На основании Т1 оттуда следует, что n-ый остаток ряда (1) сходится. 2) q: Существует номер N, такой, что для всех номеров, начиная с него по Т1. N-ый остаток ряда (1) расходится.

8. Интегральный признак Коши. Сходимость обобщенно гармонических рядов.

Рассмотрим ряд с положительными членами: (1). Предположим дополнительно, что члены ряда (1) убывают с ростом номера. , (2). Определение: функцией Коши, соответствующей ряду (1) называется числовая функция вещественной переменной x f(x), которая определена для и обладает следующими свойствами: 1) f(x) – непрерывна 2)f(x) –убывает 3) . Теорема: Пусть функция f(x) – функция Коши ряда (1), тогда сходимость ряда (1) эквивалентна сходимости несобственного интеграла. Сх-ть (1) (3). . – площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) с основанием от 1 до n. (4). , . , (5) , (6) , (7). Пусть (1) сходится, значит существует . Существует –число =>сходящийся. Пусть (1) –расходящийся, значит , -расходящийся. Гармонический ряд: , – гармонический ряд. Ряд расходящийся, если , сходящийся, если .