Глава 1. Основные способы определения площадей земельных угодий

1. Графический способ определения площадей

В зависимости от хозяйственного назначения участков и массивов, их размеров, конфигурации и вытянутости, наличия планово-картографического материала, топографических условий местности применяются следующие способы определения площадей.

При графическом способе земельный участок, изображенный на плане, делят на простейшие фигуры, например, треугольники. В каждом треугольнике измеряются основания а и высоты h и по масштабу определяют их величины на местности. Площадь каждого треугольника определяют по формуле S=0.5ah (1). Для повышения точности площадь каждого треугольника определяют дважды, но по другим основанию и высоте. За окончательное значение принимают среднее арифметическое из двух результатов измерения площадей: S_ср=(S₁+S₂)/2 (2). Площадь полигона или отдельных его участков определяют как сумму площадей всех треугольников, всех составляющих.

Вычисление площадей графическим способом состоит в том, что участки, изображенные на плане, разбивают на простейшие геометрические фигуры – преимущественно на треугольники, реже трапеции и прямоугольники. В каждой фигуре на плане измеряют высоту и основание, по которым вычисляется площадь. Сумма площадей фигур дает площадь участка.

Чем меньше углов имеет граница участка, тем меньше эффективность этого способа, следовательно, для вычисления площадей участков, имеющих большое количество углов, целесообразнее вычислять площадь по графическим координатам точек, т.е. по координатам, измеренным на плане при помощи измерителя или координатографа, координатометра и др., пользуясь формулами Наилучшим вариантом разбивки участка на треугольники будет тот, при котором треугольники близки к равносторонним (вернее, высоты по величине близки основаниям).

При разбивке участка на простейшие фигуры можно принять много вариантов, однако, точность вычисления площади участка при различных вариантах не будет одинаковой. Если в треугольнике измерено по плану основание и высота , то погрешность вычисления площади можно найти из выражения

(3)

Погрешности измерения основания и высоты по плану можно считать одинаковыми , тогда с учетом , получим погрешность вычисления площади треугольника

(4)

В случае если получим , но , тогда

(5)

Для трапеции, прямоугольника и параллелограмма обозначим и , тогда погрешность вычисления площади данных фигур составит

(6)

В случае если получим , но , тогда

(7)

Из сравнения формул очевидно, что погрешность вычисления площади треугольника меньше погрешности определения площадей других фигур.

Обозначив , где K – коэффициент вытянутости фигуры, то из (7) получим

. (8)

Так как площадь треугольника и , то

откуда.

Подставив выражение в (10) найдем

(9)

Из анализа формул (8) и (11) видно, что погрешность определения площади вытянутого треугольника по плану больше погрешности определения площади треугольника при в раз. Это заключение верно и для прямоугольника, трапеции и параллелограмма.

Пример. На плане масштаба 1:500 измерены , . Площадь треугольника , , или в масштабе плана0,2м., . По формуле (11) найдем

, или .

Если основание измерено на местности рулеткой с относительной погрешностью , по формуле (5) получим

Следовательно, погрешность измерения на плане короткого основания снизило точность вычисления площади треугольника в пять раз.

Если площадь многоугольника разбита на треугольников с соотношением , т.е. , то погрешность определения его площади, составит

. (12)

СКП площади каждого треугольника определим по формуле

,

тогда

(13)

Следовательно, на точность определения площади контура на плане не влияет на сколько треугольников разбит этот контур. Нет необходимости стремиться к тому, чтобы число треугольников было наименьшим, а надо стараться, чтобы выполнялось условие .

Погрешность площади, вычисленной по графическим координатам точек можно рассчитать по формуле

, (14)

в которой, СКП измерения координат на плане с помощью измерителя принимают равной .

При измерении площади контура с помощью квадратной или параллельной палетками ее погрешность характеризуется эмпирической формулой

(15)

Если участок имеет криволинейную границу и его площадь на плане менее 10 см, то ее можно измерить палеткой, которая представляет собой ряд параллельных линий, проведенных через интервалы h =2 мм на любой прозрачной основе (кальке, пла­стиковой пленке и др.).

Для определения площади палетку накладывают на план как показано на (рис. 1), чтобы крайние точки контура участка 1 и 16 находились посредине между линиями палетки. В результате участок рас­членяется на отдельные трапеции с высотой h и средними линиями S_2-3, S_3-4,…, S_14-15, которые измеряют в масштабе плана (основания трапеций изображены на рисунке 1 пунктиром). Так как площадь каждой трапеции равна , то общая площадь участка

(16)

Сумму расстояний последовательно набирают в раствор измерителя: взяв расстояние S_2-3, переносят левую иглу измерителя в точку 5, а правую устанавливают на продолжении линии 4—5 в точке k, после чего увеличивают раствор измерителя перемеще­нием левой иголки в точку 4. Тогда в растворе измерителя 4—k будет набрана сумма средних линий (S_2-3+S_4-5). Дальнейшие измерения продолжают в той же последовательности. Если в процессе набора расстояний раствор измерителя окажется больше размера палетки по ее длине AB, то сумму средних линий набирают по частям в несколько приемов. Общую длину измерен­ных средних линий определяют по масштабной линейке и умножают на высоту h, соответствующую числу метров в масштабе плана. Полученную площадь выражают в гектарах.

 

Рисунок. 1. - Измерение площади с помощью параллельной палетки

Точность однократного определения площади квадратной и параллельной палетками определяется по формуле 

(17)

Автоматизировать процесс измерения площади фигуры любой формы позволяет применение электронных (цифровых) планиметров типа Planix, Topkon и др., считывание результатов и вычисление площадей выполняется автоматически после того как контур замкнут, результаты измерений могут накапливаться и осредняться.