Вопрос 13 Несобственные инт-лы с беск. Пределами и несобственные инт-лы от неогранич. Ф-ций. Определения и признак сходимости.

Пусть интегрируема на , и . Тогда называется несобственным . Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный сходится. Примеры:

1. .

2. .

Аналогично, , , где a – произвольное число.

Пусть интегрируема на , где и в окрестности b неограниченна. Тогда – несобственный интеграл.

Примеры:

1. .

2. .

Признаки сходимости несоб. инт-ла

Вступление:

1. ,несобственный инт-л 1 рода.

2. b – конечное число, а – несобственный инл 2 рода.

Признаки сходимости несоб. инт-ла для f(x)>0 ∀ :

1)Признак сравнения (с нер-вами)

1. =>

2. =>

2) Признак сравнения (с )

Вопрос 14 Функции нескольких переменных

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,)

Область определения функции z - совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.

График функции двух переменных - множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Функции и их пределы

Число А называется пределом функции f(x,y)при стремлении точки М(х,у) к точке М₀(х₀,у_о), если для любого числа Е>0 найдётся такое число r>0, что для любой точки М(х,у), для которых верно условие ММ₀<r также верно условие 

Записывают: 

Критерий Коши существования предела функции

 Для того чтобы функция f, x   X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x₀ конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого   > 0 существовала такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для любых x'   X   U(x₀) и x"   X   U(x₀)   выполнялось бы неравенство | f(x") - f(x')| <  .

Предел ф-ции по направлению

Рассмотрим некоторую функцию  , заданную во всех точках окрестности точки  , кроме, быть может, точки  ; пусть   - произвольный вектор длины единица   и   - скаляр. Точки вида   образуют выходящий из   луч в направлении вектора  .  Для каждого   можно рассматривать функцию

от скалярной переменной  , где   есть число, зависящее от  . Предел этой функции (от одной переменной  )

,

если он существует, естественно назвать пределом   в точке   по направлению вектора  .

Непрерывность

Функция непрерывна в точке , если она опред. в некот. окр. точки M_o и

Вопрос 15 Частные производные. Дифференцируемость ф-ций неск. Переменных, осн. Теоремы, необ. И достат. Условие дифф-ти, дифф-ие сложной ф-ции, инвариантность формы 1-ого дифф-ла.

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: , где А₁, А₂, …, А_m – некоторые не зависящие от ∆х₁, ∆х₂, …, ∆х_m числа, а α₁, α₂, …, α_m – бесконечно малые при функции, равные 0 при ∆х₁=∆х₂=…∆х_m=0.

Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен:

Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:

Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у): dz= f_x(x,y)dx+ f_y (x,y)dy

Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f ’x(x,y), f ’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.

Необх. и дост. условие дифференцируемости

Напомним, что функция одной переменной   называется дифференцируемой в точке , если приращение функции представимо в виде

,

где  ― некоторое действительное число, зависящее от , а  бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , при .

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции   в точке  является существование производной

.

Выясним, как переносятся условия дифференцируемости на случай функции двух переменных.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

,(1)

Дифференцирование сложной ф-ции

Пусть задана функция двух переменных и пусть переменные   и   сами являются непрерывными функциями независимых переменных   и  :  ,   . (*)

Таким образом,

 ,

т.е.   является сложной функцией переменных   и   . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам   и   , не делая непосредственной подстановки. При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Сначала найдем производную   . Для этого дадим аргументу   приращение   , сохраняя значение   неизменным. Тогда в силу уравнений (*) получат приращения   и   .

Но если   и   получают приращения   и   , то функция   получит приращение   , определяемое формулой:

 .

Разделим обе части последнего равенства на   :

 .

Если   , то   и   (в силу непрерывности функций   и   ). Но тогда   и   тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу при   , получим

 ,   ,   ,

и, следовательно,

 . (1)

Аналогично находим производную   по переменной   :

 . (2)

Вывод. Частная производная сложной функции равна сумме произведений частных производных заданной функции по промежуточным аргументам (  и  ) на частные производные этих аргументов (  и  ) по соответствующей независимой переменной (  и  ), где  и — некоторые постоянные, зависящие от и ; и — функции от и , стремящиеся к нулю при и , то есть , .

Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции   в точке .

Определение. Функцию , дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.

Инвариантность формы 1-ого диф-ла

Если x_i(t) непрерывно диф-ма на t= t₀(t⁰₁+ t⁰₂ +…+ t⁰_m), а y=f(x); x=(x₁,x₂,…x_n) непрерыв.. диф-ма в т. x₀=(x⁰₁,x⁰₂,…x⁰_n), x^o_i (t_o), то ф-ция y=f(x(t)) диф-ма в точке t_о и справедливо равенство