Бесконечно малая[править | править вики-текст]

Последовательность {\displaystyle a_{n}}  называется бесконечно малой, если {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0} . Например, последовательность чисел {\displaystyle a_{n}={\dfrac {1}{n}}}  — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки {\displaystyle x_{0}} , если {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=0} .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0}  либо {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0} .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=a} , то {\displaystyle f(x)-a=\alpha (x)} , {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0} .

Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении {\displaystyle x}  к {\displaystyle a}  (из {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=0} )] делается меньше произвольного числа ({\displaystyle \varepsilon } ). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.^[1]

15) Определения. Пусть при   функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда:

2. Если   , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x).

2. Если   (конечен и отличен от 0), то f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x).

3. Если   , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность записывается так:   .

16) Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность {\displaystyle a_{n}}  называется бесконечно большой, если {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\infty } .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки {\displaystyle x_{0}} , если {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=\infty } .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=\infty }  либо {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=\infty } .

Как и в случае бесконечно малых, необходимо отметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой величины не может быть названо как «бесконечно большое» — бесконечно большая величина — это функция, которая лишь в процессе своего изменения может стать больше произвольно взятого числа.

Если функция   - функция бесконечно малая ( ), то функция   есть бесконечно большая функция и наоборот.

17) Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

   .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

   .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с,    докажем, что     .

Возьмем  произвольное >0. В качестве  можно взять любое

положительное число. Тогда при 

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

  и   .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A=  - б.м. при  ,

f(x)-B=  - б.м. при  .

Вычитая эти равенства, получим:

 B-A= - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при  , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при  , то и алгебраическая сумма имеет предел при  , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть  ,   ,    .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

 где   - б.м. при .

Сложим алгебраически эти  равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,

где  б.м. при   .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С= .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при  , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при  ,

причем  , то и их частное имеет предел при  , причем предел частного равен частному пределов.

,   .