Признаки существования предела

 

Теорема 1 (теорема о двух милиционерах). Если функция y=f(x) в некоторой окрестности точки а заключена между двумя функциями   и  , т.е. выполняется неравенство   х, причем эти функции имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y=f(x) при , равный этому же значению.

,

  =>  .

                          Y                                                                  

                                                  (x)                                    

                               А                                 f(x)                      

                                                                                             

                                                   (x)                                   

                                                                                             

                          0            а                                    X             

                                                                                             

Теорема 2.  Если функция y=f(x) монотонно возрастет (убывает) в некоторой окрестности  точки а и ограничена сверху (снизу), то она имеет предел при .

18) Особенность данных пределов заключается в том, что нам с вами их не нужно считать, они уже давно посчитаны до нас. Нам только нужно их опознать и подставить в нужное место уже известный результат.

19)

20)

21) Точка  , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция   определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

называется точкой разрыва функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке   существуют конечные пределы   и  , такие, что  , то точка   называется точкой разрыва первого рода.

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов   или   не существует или равен бесконечности, то точка   называется точкой разрыва второго рода.

22) Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). 

Если функция   дифференцируема в точке  , то она непрерывна в этой точке.

23) Вычисление производной функции  у = f(x)  производится по следующей схеме:  1) Находим приращение функции на отрезке   :  2) Делим приращение функции на приращение аргумента:  3) Находим предел     устремляя     к нулю. Переход к пределу мы будем записывать с помощью знака  lim:

Основные правила дифференцирования

24) Теорема. Если   и    дифференцируемые функции своих аргументов, то сложная функция   является дифференцируемой функцией и ее производная равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента  по независимой переменной:

.

Теорема. Если в точке   производная  , то производная обратной функции   в точке   существует и равна обратной величине производной данной функции:  , или

.

Пример 1. Найти производную функции  Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций:   , где  , где z = tg q, где q =.  . По правилу дифференцирования сложной функции (  )получаем: Пример 2. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную   для функции  Решение: Обратная функция   имеет производную   . Следовательно,

25)

ПРИМЕР 1

Задание	Найти производную от функции   заданной неявно.
Решение	Перенесем выражение   стоящее в правой части равенства, в левую часть:    Далее дифференцируем левую и правую часть последнего равенства:    Используя свойство линейности производной, получим:    Первое слагаемое дифференцируем как произведение:    при этом считаем, что   есть функция от   поэтому производную от него находим как производную от сложной функции:    Будем иметь:    Было учтено, что  Итак, для заданной функции имеем:    Решаем полученное уравнение относительно функции
Ответ

26)

Предположим, что функциональная зависимость   от   не задана непосредственно  , а через промежуточную величину —  . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция   задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции   и   определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра  . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что  , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной   выполним следующие преобразования:

Задание. Найти вторую производную   для функции   заданной параметрически.

Решение. Вначале находим первую производную   по формуле:

Производная функции   по переменной   равна:

производная   по  :

Тогда

Вторая производная равна

Ответ. 

27)

28) ***

29) Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом: