2.1. Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия
Количественная оценка надёжности позволяет производить расчет надёжности, сформулировать требования, предъявляемые к надёжности вновь разрабатываемых систем, заранее рассчитать срок службы трубопроводов, оборудования и т.д., составить плановое задание по уходу за системой, ее ремонтом и восстановлением.
Любые показатели (или формы количественного представления), определяющие безотказность, основываются на теоретическом или статистическом определении функции распределения времени безотказной работы, которая показывает вероятность того, что на отрезке времени [0, t] не произойдет отказ рассматриваемого объекта (трубопровода), имеющего наработку X:
Физический смысл.
Величина Р(ti) характеризует долю работоспособных изделий к моменту времени ti.
Рис. 1. Кривая распределения вероятности
безотказной работы
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением
(1)
где n(t) – число изделий, неотказавших к моменту времени t; N – число изделий, поставленных на испытания; Р(t) – статистическая оценка вероятности безотказной работы изделия. Типичный график функции Р(t) представлен на рис. 1 и называется в специальной литературе «кривой убыли».
Для вероятности отказа по статистическим данным справедливо соотношение (2)
(2)
где N–n(t) – число изделий, отказавших к моменту времени t; Р (t) – статистическая оценка вероятности отказа изделия.
Частота отказов по статистическим данным об отказах определяется выражением
(3)
где Δn(t) – число отказавших изделий на участке времени (t, t+Δt); f(t) – статистическая оценка частоты отказов изделия; Δt – интервал времени.
Большинство современных исследований надежности систем водоснабжения и водоотведения в качестве показателей безотказности используют вероятность безотказной работы или производный от него показатель – интенсивность отказов λ(t):
Физический смысл интенсивности отказов – это мера, выражающая склонность объекта к отказу в зависимости от времени его эксплуатации.
Интенсивность отказов (условная плотность вероятности отказов) по статистическим данным об отказах определяется формулой:
(4)
где n(t) – число изделий, не отказавших к моменту времени t; Δn(t) – число отказавших изделий на участке времени (t, t+Δt); λ (t) – статистическая оценка интенсивности отказов изделия.
Для решения задач о прогнозировании работоспособности необходима математическая модель, которая должна быть представлена аналитическим выражением интенсивности отказов λ(t). Типичная кривая распределения отказов представлена на рис. 2. Вероятность безотказной работы и интенсивность отказов являются функциями времени формулы (1), (4). Причем, вероятность безотказной работы – всегда убывающая функция, (рис. 1), а интенсивность отказов может быть как возрастающей функцией, так и неизменной (рис. 2).
К
ривую
изменения отказов можно условно разделить
на три характерных участка:
первый (I) – период приработки,
второй (II) – период нормальной эксплуатации,
третий (III) – период старения объекта.
Рис. 2. Кривая изменения интенсивности отказов
во времени
Отказы, появляющиеся в периоде нормальной эксплуатации, называют внезапными, так как они появляются в случайные моменты времени, т.е. внезапно, непредсказуемо.
Интенсивность отказов постоянна тогда и только тогда, когда функция распределения наработки F(t) = 1– F (t) распределена по экспоненциальному закону.
Средняя наработка на отказ – отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Среднее время безотказной работы оборудования (средняя наработка до первого отказа) по статистическим данным оценивается выражением
(5)
где ti – время безотказной работы i-го изделия; N – общее число изделий, поставленных на испытания; Тср – статистическая оценка среднего времени безотказной работы изделия.
Для определения Тср по формуле (5) необходимо знать моменты выхода из строя всех N изделий. Можно определять Тср из уравнения
(6)
где ni – количество вышедших из строя изделий в i-ом интервале времени; tср.i = (ti-1+ti)/2; m=tk/Δt; Δt=ti+1–ti; ti–1 – время начала i-го интервала; ti – время конца i-го интервала; tk – время, в течение которого вышли из строя все изделия; Δt – интервал времени.
Дисперсия времени безотказной работы изделия по статистическим данным определяется формулой
(7)
где Dt – статистическая оценка дисперсии времени безотказной работы изделия.
Задача 1.
На испытании находилось N0 = 100 образцов неремонтируемого оборудования. Число отказов оборудования n (t) фиксировалось через каждые 200 часов работы. Данные об отказах оборудования приведены в табл. 1. По этим опытным данным вычислить количественные показатели надежности:
1. Р(t) – вероятность безотказной работы за время t;
2. f (t) – частота отказов за время t;
3. (t) – интенсивность отказов за время t;
4. Tср – средняя наработка до первого отказа, час.
Построить графики зависимостей этих характеристик от времени
Таблица 1
-
t, час
0-
200
200-
400
400-
600
600-
800
800-
1000
1000-
1200
1200-1400
n (ti)
9
6
4
3
2
3
3
Продолжение табл.1
-
t, час
1400-
1600
1600-
1800
1800-
2000
2000-
2200
2200-
2400
2400-
2600
n (ti)
2
3
3
3
2
3
Продолжение табл. 1
-
ti ,час
2600-
2800
2800-
3000
n (ti))
5
7
Задача 2.
Построить график распределения случайной величины, числа снижений (ниже допустимого) объёма подачи воды некоторому потребителю, т.е. число отказов. Наблюдения велись в течение 20 лет. Результаты наблюдений представлены в табл. 2.
Таблица 2
Годы наблюдений |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Число отказов в год |
1 |
2 |
5 |
3 |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
Продолжение табл. 2
Годы наблюдений |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Число отказов в год |
2 |
3 |
1 |
4 |
2 |
7 |
8 |
4 |
2 |
1 |
Задача 3.
В течение некоторого времени проводилось наблюдение за работой N0 экземпляров восстанавливаемых изделий. Каждый из образцов проработал ti часов и имел ni отказов. Требуется определить среднюю наработку на отказ по данным наблюдения за работой всех изделий. Исходные данные для расчета приведены в табл. 3.
Таблица 3
вари- ант |
Исходные данные |
|||||||||
n1 |
t1, ч. |
n2
|
t2,ч. |
n3 |
t3, ч. |
n4 |
t4, ч. |
n5 |
t5, ч. |
|
0 |
1 |
300 |
3 |
600 |
2 |
400 |
– |
– |
– |
– |
1 |
3 |
90 |
6 |
270 |
4 |
140 |
5 |
230 |
3 |
180 |
2 |
12 |
960 |
15 |
1112 |
8 |
808 |
7 |
1490 |
– |
– |
3 |
6 |
144 |
5 |
125 |
3 |
80 |
8 |
176 |
5 |
150 |
4 |
6 |
144 |
5 |
125 |
3 |
80 |
– |
– |
– |
– |
5 |
10 |
1020 |
26 |
3120 |
24 |
3480 |
18 |
2700 |
– |
– |
6 |
18 |
2700 |
32 |
4000 |
24 |
3480 |
16 |
2080 |
24 |
3480 |
7 |
3 |
720 |
4 |
1040 |
2 |
500 |
6 |
1800 |
– |
– |
8 |
1 |
300 |
3 |
600 |
6 |
2300 |
7 |
2450 |
– |
– |
9 |
3 |
1650 |
2 |
1200 |
4 |
2300 |
– |
– |
– |
– |