Раздел 3. Законы динамики

Основная задача динамики. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Взаимодействие тел. Сила. Масса и импульс тела. Второй закон Ньютона, и его особенности. Третий закон Ньютона и границы его применимости.

Твердое тело. Момент импульса, момент силы, момент инерции. Уравнение моментов – дифференциальное уравнение движения твердого тела. Уравнения динамики колебательного и волнового движений (волновое уравнение). Примеры, практические задачи.

Динамика изучает движение материальной точки (тел) вместе с причинами, вызывающими это движение. Основная задача: по заданной силе найти закон движения тела.

Первый закон динамики: всякое тело движется прямолинейно и равномерно или находится в покое до тех пор и поскольку действие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние движения. Важные следствия Первого закона:

1. Действие со стороны других тел (сила) необходима, чтобы изменить состояние движения.

2. Покой и равномерное прямолинейное движение есть два одинаковых состояния.

3. Механическое движение всегда относительно.

4. Первый закон позволяет выбрать инерциальную систему отсчета, то есть такую систему отсчета, в которой свободное тело движется прямолинейно и равномерно или покоится.

Первый закон позволяет ввести важные понятия:

Сила – количественная мера действия одного тела на другое.

Масса. Свойство тела сохранять состояние движения – инерция. Количественная мера инерции - масса. Чем больше масса, тем меньше тело изменяет состояние движения.

Импульс . По первому закону действие одного тела на другое проявляет себя в изменении скорости или импульса: .

Второй закон динамики: В качестве количественной меры действия (силы), Ньютон предложил взять скорость изменения импульса тела, на которое производится это действие:

(1)

Решения данного дифференциального уравнения при различных начальных условиях дают кинематические уравнения движения материальной точки в самых общих случаях.

Для тела переменной массы:

Второй закон Ньютона в форме (1) наиболее общий, чем в форме = m Уравнение в форме: (2) есть дифференциальное уравнение движения в переменных Ньютона (r,t). По заданной силе и начальным условиям решение (2) даёт кинематический закон движения .

Второй закон в другом виде:

Умножим скалярно на )= т.к

(3) есть элементарная механическая работа. Энергия - есть способность системы (тела) совершить работу, тогда правая часть (3) есть элементарная энергия

При совершении работы силой (телом) энергия изменяется, то есть: . (4)

Таким образом, действие силы во времени изменяет импульс тела; действие силы в пространстве - изменяет энергию тела. Для получения кинематических уравнений движения нужно решать дифференциальное уравнение вида (1), (2).или (3),(4). В первом случае решение называется в переменных Ньютона, во втором, в переменных Гамильтона.

Уравнение (1) можно решить как в координатной, так и векторной формах.

=a +at

; : .

Механическая энергия делится на энергию движения (кинетическую), зависящую от скорости движения (или импульса) тела и энергию, зависящую от положения (координат) взаимодействующих тел (потенциальную). Полная энергия: + Решение уравнения (3) в переменных Гамильтона обычно используется в системах, состоящих из большого числа элементов (частиц), в которых состояние системы определяется её энергетическим состоянием, а не координатами частиц: .

Подробнее - во второй части физики – молекулярной и статистической физике.

Силы делятся по физической природе на:

1. Гравитационные 3. Сильные внутри атома и ядра

2. Электромагнитные 4.Слабые между элементарными частицами.

Третий закон динамики:

Каждому действию есть равное и противоположное противодействие. Или тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению.

Границы применения: Зависят от скорости передачи информации

Тела меняют положение, следовательно, какое-то время

закон не будет действовать. Закон будет выполняться

между гравитационным полем Земли и планетой. Но

между Землёй и планетой, как точечными телами,

действие закона будет запаздывать на время прихода

информации о перемещении.

Твёрдое тело. Уравнение моментов.

Рассмотрим пример: Диск имеет неподвижную ось, относительно

которой он может свободно вращаться.

Приложенную к ободу диска силу разложим на две составляющие

.

Таким образом, проекция на OO' = 0, а проекция на OO' 0.

Следовательно: - вращения не будет, - вращение будет.

Необходимым и достаточным условием изменения (например, начала ) вращательного движения тела относительно неподвижной оси является наличие момента силы относительно этой оси. Наличие приложенной к телу силы необходимое, но не достаточное условие.

Вращательно движение вокруг неподвижной оси. Перейдём к полярной системе координыт

;

Возьмем уравнение для одной точки твердого тела: (для i-ой точки).

Перейдем к моменту силы (умножим на : . Таким образом, для i-ой точки , где - момент импульса.

Определим, момент силы через момент импульса точки:

(перемножаются два коллинеарных векктора , Синус угола между ними равен нулю).

Следовательно, в скалярной форме для одной i-ой точки: . Моменты сил (как векторы) могут быть просуммированы по всем точкам тела:

Моментом инерции твердого тела относительно оси мы называем сумму произведений масс материальных точек тела на квадрат их расстояний до оси: .

Если нам удастся предварительно найти момент инерции тела- I относительно оси, то уравнение движения твёрдого тела будет описываться одним уравнением:

Тогда произвольное движение по теореме Эйлера будет описываться системой:

Уравнение моментов в общем случае нужно записать относительно некоторой мгновенной оси, выбор которой весьма не прост. Выясним физический смысл двух величин: массы и момента инерции.

Свойства массы:

1. Свойство тела сохранять состояние движения – инерция.

ускорение тем больше, чем меньше масса (тело меняет свое состояние движения тем меньше, чем больше масса). То есть масса определяет меру инерции.

2. m – мера кинетической энергии .

Аналогично, момент инерции является мерой инерции и кинетической энергии при вращении.

1. - то есть при одном и том же моменте силы- M изменение состояния движения будет тем меньше, чем больше I. Следовательно, I – мера инерции во вращательном движении.

2. - чем больше момент инерции, при одной и той же скорости вращения, тем больше энергия. То есть I – мера кинетической энергии.

Примеры нахождения момента инерции:

1. Однородный стержень длины и массы m.

Пусть масса единицы длины = .

2. Обруча радиуса R и массы m.

: - масса единицы длины кольца.

3. Момент инерции диска, относительно оси, проходящей через центр масс .

4. Для цилиндра: 5) Для шара:

Теорема Штейнера-Гюйгенса

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела, относительно оси проходящего через центр масс параллельно данной – , плюс произведение массы тела на квадрат расстояние между осями:

Уравнение моментов - дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела.

Математически уравнение моментов и уравнение второго закона Ньютона относятся к одному типу и имеют одинаковое по виду решения. 1) –кинематическое уравнение вращательного движения.

Динамика колебательного движения

- запись гармонического колебания, где A – амплитуда, - начальная фаза.

- фаза (через функцию sinus) показывает, какую часть

смещение в данный момент времени составляет от амплитуды.

1. Пусть t = 0,

2. - гармоническая функция

3. 

Так как , то = - -уравнение динамики. Сила, пропорциональная смещению и направленная в сторону противоположную ему, вызывает колебательное движение.

.

Уравнение колебаний в канонической форме

Выведем на примере пружинного маятника.

равновесия.

– динамическое уравнение колебаний в каноническом виде.

- постоянная величина, характеризующая свойства системы. В нашем случае,

Где . Решение уравнения вида: есть гармоническая функция Постоянные –- функции начальных условий.

Полное начальное условие: t = 0, .

Пример: пусть при t = 0. 0.

две неизвестные величины: Воспользуемся вторым условием:

. Тогда .

Найдем каноническое уравнение математического маятника:

- каноническое уравнение математического

маятника . Уравнение: X(t)=

Физический маятник - твёрдое тело, имеющее ось вращения.

Запишем уравнение моментов: , .

Колебания – часть вращения.

– дифференциальное уравнение в каноническом виде.

. Уравнение колебаний: Sin(

Динамика волнового движения. Волновое уравнение. Кинематическое уравнение волны: –волна распространяется в положительном направлении Ox. – в отрицательном направлении оси OX.

Таким образом, Продифференцируем дважды и приравняем вторые производные:

=

– волновое уравнение в канонической форме, где C – характеризует упругие свойства среды и свойства колебательной системы.