Графическое дифференцирование и интегрирование
Графическое дифференцирование и интегрирование осуществляется методом хорд, сущность которого заключается в следующем.
В каждом участке τ кривой графика перемещений проводят хорду АВ, наклоненную к оси абсцисс под некоторым углом α, определяемым кривизной графика, т.е. величиной перемещения ΔS за период времени τ. На графике скорости откладывают произвольную величину полюса Р = ОО1. Из полюса проводят отрезок О1М под углом α до пересечения с осью ординат. Из точки М проводят прямую ММ1, параллельную оси абсцисс, до пересечения с линией, делящей отрезок τ пополам. Ордината точки М1 определяет среднюю величину скорости VCP в заданном масштабе. Аналогично обрабатывают все участки графика перемещений. Соединяя полученные ординаты, получают график изменения скорости данного звена V = V(t). Описанный метод не вполне точен, т.к. ординату точки М1 следовало бы откладывать не в середине участка τ, а в точке, в которой касательная к кривой графика перемещений параллельна хорде АВ, т.е. наклонена под углом α. Сказанное иллюстрирует рис. 4.
B
S
ΔS
A α
V=dS/dφ
t,
φ
M M1 VCP
α
O1
O
t,
φ
P τ
Рис. 4 Схема графического дифференцирования
Пусть задана графически функция S=S(t). Требуется построить кривую V= V (t). Рассмотрим одни из промежутков времени τ. Поскольку скорость есть производная перемещения по времени, то можно записать:
(1)
Из ΔОО1М получается (2)
После подстановки (2) в (1) имеем:
Масштаб скорости
Если по оси абсциссы отложено не время, а угол поворота ведущего звена φ, то дифференцирование кривой S=S(φ), дает величину dS/dφ , которая будет связана со скоростью V следующим соотношением:
dS/dφ = V/ω
где ω-угловая скорость ведущего звена механизма.
В
еличину
dS/dφ
называют аналогом скорости. Если
ω=const,
то ведущее звено вращается равномерно
и величины
dS/dφ
и
V
пропорциональны друг другу и могут
изображаться одним и тем же графиком,
но при разных масштабах:
Е
сли
задана графически функция V
= V(t)
и требуется построить кривую а=а(t),то
дифференцирование осуществляется
аналогично. При этом масштаб ускорений
равен (q
– полюс ускорений):
Графическое интегрирование методом хорд осуществляется в обратной последовательности. Пусть задана графически функция V=V(t) и требуется построить кривую перемещения S=S(t).
Рассмотрим один из промежутков времени τ .
В каждом промежутке τ определяют графически среднюю скорость, считая, что она совпадает с серединой промежутка. Задав произвольно полюсное расстояние P, сносят Vср на ось ординат и полученную точку М соединяют лучом с полюсом О1. На строящемся графике S=S(t) строят хорду AB, параллельную этому лучу. Каждую последующую хорду проводят из конца предыдущей и в результате получают ломанную линию точки перелома которой принадлежат кривой S=S(t) т.е. кривой перемещения. Эта ломаная линия может быть построена при любом начальном значении S0, которое предполагается заданным. Чаще всего считают S0 =0.
Выражение для масштаба кривой перемещения Кs находится из выражения, полученного при дифференцировании.
КS=PKVKt
Нужно иметь в виду, что величина наибольшего перемещения Н исследуемого звена механизма будет так или иначе задана.
П
оэтому
масштаб Кs
кривой перемещения можно считать всегда
известным:
S
Н
0 1 2 3 4 5 6 7 8 t, φ
V
O1 P O t, φ
a
q
t,
φ
Рис. 5 Пример графического дифференцирования с построением графиков скорости и ускорения
Масштаб времени определяется в зависимости от числа оборотов ведущего звена в минуту n с учетом числа угловых положений ведущего звена и их градусной меры Кφ, которым задаются.
Кинематический анализ механизмов методом графиков удобен лишь в отношении звеньев, движущихся поступательно или вращающихся вокруг неподвижных осей. В последнем случае строятся графики угловых величин:
Ψ=ψ(t), ω=ω(t), ε=ε(t).
Данные величины соответственно – угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение исследуемого звена механизма.