2. Линейная и нелинейная идентификация системы с одной степенью свободы

В этом разделе предлагается метод идентификации системы, основанный на ИНС, которая способна отделить линейные члены от нелинейных. Сначала выявляются системы с одной степенью свободы, а затем предложенный метод объединит их в системы со многими степенями свободы. Поведение системы с одной степенью свободы может быть представлено в следующей форме:

m ẍ(t) + c ẋ(t) + k х(t) + h(x(t), ẋ(t)) = f(t) (1)

в котором m, c и k представляют неизвестные структурные параметры массы, демпфирования и жесткости соответственно, которые должны быть однозначно выявлены. Кроме того, х(t), ẋ(t) и ẍ(t) и указывают известные значения смещения, скорости и ускорения, соответственно. Кроме того, h(x(t), ẋ(t)) обозначает нелинейную часть системы. Рисунок 1 иллюстрирует предлагаемую схему идентификации ИНС для нахождения линейной части уравнения (1).

Самый популярный метод для обучения в многослойных нейронных сетях называется обратным распространением (ОР). Этот способ был изобретен в 1969 году Брайсоном и Хо [17], но не был в достаточной степени востребованным до середины 1980-х годов. [18-20] Название "ОР" было впервые предложено Румельхартом. [21] Предлагаемая ИНС на рис.1 использует нелинейное ОР многослойной нейронной сети, которая, как предполагается, определяет нелинейный член h(x(t), ẋ(t)). Слой n + 1 - это нейрон с линейной пороговой функцией, которая используется только для взвешенной суммы входных сигналов, передающих данные в этот нейрон, в то время как другие нейроны имеют сигмовидную пороговую функцию. Следует отметить, что сигмовидные функции очень похожи на ввод-вывод отношений типичных биологических нейронов. [15] Кроме того, производные сигмовидной функций могут быть легко вычислены, а это, в свою очередь, помогает выполнить аппроксимацию функции. Количество слоев и нейронов в каждом слое, а также соотношение обучения зависит от первичного предположения и улучшаются в следующей рекурсии на этапе обучения. В этом исследовании применение предлагаемого способа ограничивается динамическими системами, имеющими только нелинейный член в х. Иными словами, одновременная идентификация нелинейного х и нелинейное ẋ оказывается нежелательной моделью идентификации. В действительности, ИНС оказывается в локальном оптимуме. Если мы знаем, какой из этих двух параметров (х или ẋ) имеет большее влияние на поведение структуры, это поможет нам выполнить более подходящюю идентификацию. Кроме того, контролируемое обучение выбрано в качестве правила обучения ИНС для всех примеров настоящего исследования. [19]

2.1. Пример 1

В качестве первого примера рассматривается разрез одноэтажного построения. Масса, жесткость и демпфирование построения равны 1000 Ns² m^-1, 120000 N m^-1 и 3300 N m^-1s,

Рисунок 1. Предложенная архитектура ИНС для идентификации линейных и нелинейных членов.

соответственно. Кроме того, нелинейный член принимается равным 250,000,000x³. Эта структура была возбуждается гармонической вибрацией с частотой 1,27 Гц и частотой дискретизации 100 Гц. Рисунок 2 показывает как линейный, так и нелинейный отклик. На этом рисунке, линейный отклик получают путем устранения нелинейных членов модели. Очевидно, что в этом исследовании нелинейный член делает систему более жесткой почти во всех временных шагах. Следовательно, существование нелинейного члена повлияло на структурный отклик. Этим влиянием на реакцию конструкции нельзя пренебрегать.

Решая эту задачу с помощью классического метода НК приведет к ответам показано в таблице 1. Известный метод НК является линейным методом идентификации, который обеспечивает грубую оценку точного решения. Для этого примера, кубический полином используется для оценки точного решения задачи. Как показано в таблице 1, масса конструкции была оценена приблизительно с 25% ошибок, по сравнению с его точным значением, что неприемлемо для этой с одной степенью свободы системы. Другими словами, небольшая неточность в этой степени свободы будет распространяться на обобщение предложеного метода со многими степенями свободы, которое может привести к существенно большим ошибкам в идентификации физических параметров.

Теперь давайте предположим, что смещение имеет нелинейное поведение, в то время как скорость остается линейной. Обратите внимание, что предположение о нелинейной жесткости и демпфировании линейном логично и применимо для построений. При использовании ИНС для идентификации, масса и демпфирование были задействованы в линейной части предлагаемой ИНС, в то время как линейная и нелинейная жесткость будет осуществляться в нелинейной части предлагаемой ИНС (рисунок 3).

Нелинейная часть ИНС состоит из пяти слоев. Количество нейронов в слоях равно 8, 4, 3, 2 и 2, соответственно. Важным моментом в подготовке этой специфической ИНС является то, что общие нормализации, в популярной практике обучения ИНС,

Рисунок 2. Отклик первого примера с или без присутствия нелинейного члена.

Таблица 1. Первый пример: оценка соответствующих физических параметров методом НК. В этой таблице, уравнение [[M] [C] [K]][Y] = [F] используется для идентификации физических параметров.

	Точное значение	Плановое значение
Масса (Ns2 m-1)	1000	746
Жесткость (N m-1)	120,000	128,300
Демпфирование (N m-1 s)	3300	3423

Рисунок 3. Предлагаемая ИНС для идентификации нелинейных систем.

следует избегать в данных обучения. Из-за существования линейной части в ИНС, нормализация может привести к нежелательно тяжелому обучению. Вместо нормализации данных должны определиться верхние и нижние пределы для входных данных. В этом исследовании, предполагая, что ИНС правильно обучается, можно ожидать, что значения нелинейной нейронной сети определит полином третьего порядка. В таблице 2, значения массы и демпфирования были получены непосредственно от значений линейной части в обученной ИНС (рис.3).

Как упоминалось ранее, идентификация линейных и нелинейных значений жесткости осуществляется в нелинейной части ИНС. Таким образом, значения жесткости не могут быть непосредственно представлены в виде выявленной модели системы, показанной на рисунке 3. Для того чтобы извлечь линейную жесткость, нужно применить соответствующие входные данные ИНС на рис.3. Для этого, следует предпринять следующие шаги: (а) отделение нелинейной части обученной ИНС от ее линейной части; (б) идентификация отделенной нелинейной части посредством применения входного вектора, начиная

Таблица 2. Первый пример: оценка соответствующих физических параметров методом ИНС, показанного на рисунке 1.

	Точное значение	Плановое значение
Масса (Ns2 m-1)	1000	1014
Жесткость (N m-1)	120,000	123,000
Демпфирование (N m-1 s)	3300	3366

с нижнего предела и заканчивая верхним. В этом примере нижний и верхний пределы равны -0.0125 и +0.0125, соответственно. Как уже говорилось, входными данными сети являются показатели перемещения, и, следовательно, указанные ограничения были получены с учетом среднего максимального смещения с наличием линейных и нелинейных членов (см. рисунок 2). Выбранные значения являются минимальными и максимальными значениями отклика системы, которая была линейно разделена на 250 временных шагов с одинаково возрастающей скоростью. Выходные значения ИНС соответствуют показателям жесткости, что проиллюстрировано на рисунке 4. Эта цифра показывает значения полинома третьего порядка, что следует из уравнения k x(t) + h(x(t), ẋ(t)) (1).

И линейные, и нелинейные модели жесткости могут быть идентифицированы с помощью нелинейной части ИНС путем деления выходных значений по входным значениям (рисунок 5). Линейная жесткость должна быть получена путем усреднения значений на 125-м временном шаге, после устранения больших значений, которые являются результатом деления бесконечно малого значения . В действительности, линейная жесткость равна пределу функции, показанному на рисунке 5, где временной шаг приближается к 125. Плановое значение линейной жесткости - 123,000 N m^-1, с погрешностью лишь в 2,4%. В следующем разделе, идея применения ИНС обобщается на идентификацию физических параметров для многоэтажных построений в разрезе.