Описание прибора
Проверка основного закона динамики проводится на маятнике Обербека (рис. 2). По четырем взаимно перпендикулярным стержням могут перемещаться грузы в форме цилиндра, в результате чего момент инерции системы изменяется. Стержни укреплены на валике с наматывающейся на него нитью, к концу которой прикрепляются сменные грузы. Под действием груза нить, разматываясь с валика, приводит всю систему во вращательное движение. Определим основные величины, входящие в уравнение (3), в применении к маятнику Обербека. В установке маятник Обербека имеет только 2 стержня, что надо учитывать при вычислении момента инерции.
Рис. 2
Угловое ускорение
Обозначим
через
высоту падения груза, прикрепленного
к концу нити, через
– время падения, тогда линейное ускорение
груза будет равно
.
С таким же ускорением движутся точки
по поверхности валика. Если радиус
валика равен
,
то величина углового ускорения запишется
как:
Момент сил
Вращательный
момент инерции системы равен
,
где
натяжение нити,
- радиус – вектор точки приложения силы
.
Величину натяжения нити можно определить
из второго закона Ньютона для падающего
груза
(натяжение нити направлено в сторону,
противоположную силе тяжести). Отсюда
или
.
Момент инерции
Полный момент
инерции системы состоит из суммы моментов
инерции валика, стержней, насаженных
на них цилиндров:
.
Если
составляющие маятник части являются
геометрически правильными и простыми
по своей форме, то все три составляющие
можно рассчитать теоретически. В
настоящей инструкции прибора такой
расчет для
(стержня) и
(валика) затруднен, поэтому их сумму
будем определять экспериментально.
Момент инерции
цилиндра массы
рассчитывается следующим образом. Для
того чтобы найти момент инерции тела
относительно произвольной оси – в нашем
случае, оси
(рис. 3) необходимо воспользоваться
теоремой Гюйгенса–Штейнера:
,
где
– момент инерции одного цилиндра,
–
момент инерции цилиндра относительно
оси
,
параллельной заданной оси
,
и проходящей через его центр масс.
Рис. 3
Для решения
разбиваем цилиндр на бесконечно тонкие
диски массой
и толщиной
и определяем момент каждого диска
относительно оси, лежащей в его плоскости
и параллельной оси
.
Момент инерции кольца относительно
центра имеет вид
.
Для плоского
тела
.
Так как для однородного симметричного
тела
,
то момент инерции кольца относительно
оси
равен
Пусть одно из
колец находится на расстоянии
от оси
.
Тогда по теореме Гюйгенса–Штейнера с
учетом
момент инерции цилиндра относительно
оси
:
.
Учитывая, что
,
получаем:
Интегрируя по всей длине цилиндра, находим его момент инерции относительно оси z:
.
Из полученного выражения видно, что момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно геометрической оси, можно рассчитать как сумму соответствующих моментов инерции диска относительно диаметра и тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню. Этим приемом можно воспользоваться при расчете моментов инерции сплошных и полых цилиндров относительно осей , проходящих как через центр масс, так и через край цилиндра.
Для двух цилиндров имеем:
(6)
где
– масса одного цилиндра,
– расстояние от оси вращения до центра
массы цилиндра,
– длина цилиндра,
и
– его внутренний и внешний радиусы (см.
рис. 2). Обозначим
Тогда:
I
(7)
Значение
можно определить опытным путем, используя
уравнение (3). Для этого со стержней
маятника снимаются цилиндры, момент
инерции такой системы будет равен
.
Предоставим возможность системе прийти во вращательное движение под действием любого груза. Тогда из соотношения (3) получим:
В данной работе необходимо проверить три соотношения:
,
,
,
