Обработка графика с помощью метода наименьших квадратов.
В экспериментальных исследованиях линейные функциональные зависимости встречаются довольно часто. Кроме того, с помощью замены переменных практически любую зависимость можно свести к линейной вида
, (П.1)
где
и
- некоторые подлежащие определению
параметры. В частном случае параметр
может быть равен нулю (величины
и
прямо пропорциональны друг другу). Тогда
соотношение (П.1) примет вид
(П.2)
В результате
эксперимента получены некоторые
результаты
(
),
и
.
Наилучшее значение коэффициента
. (П.3)
Однако процедуру построения графика и расчета коэффициента можно доверить существующим программам для вычисления. Рассмотрим процедуру построения графика и расчета коэффициентов в Matlab.
В результате некого эксперимента были получены значения, представленные в таблице 1.
Таблица 1. Экспериментальные значения величин.
x |
3.1 |
3.7 |
4.5 |
4.9 |
5.2 |
y |
1.2 |
1.8 |
2.3 |
3.0 |
3.5 |
В рабочей среде Matlab выполняем присвоение значений переменных:
>> x=[3.1 3.7 4.5 4.9 5.2];
>> y=[1.2 1.8 2.3 3.0 3.5];
Строим график. Для каждой экспериментальной точки используем маркер ‘o’.
>> plot(x,y,'o')’
Выполняем построение сетки:
>> grid on
Удерживаем график для следующего построения
>> hold on
Для расчета оптимальных коэффициентов используем функцию polyfit. Она возвращает значения коэффициентов при подгонке значений величин к полиному 1 порядка, то есть линейной функции:
>> p=polyfit(x,y,1)
Функция вернула значения:
p =
1.0392 -2.0879
Это и есть коэффициенты
полинома. В нашем случае коэффициент
будет равен первому значению переменной
,
а коэффициент
– второму. Запишем получившуюся линейную
функцию:
>> y1=p(1)*x+p(2)
Значения переменной
будут отличаться от экспериментально
полученных значений
.
И они будут описывать линейную
зависимость. Построим график:
>> plot(x,y1,'-')
Затем добавляем подписи осей и заголовок графика:
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')
>>
title('Зависимость Y от x')
