Подпространства и линейные оболочки

Как и в случаях других алгебраических структур, определим подструктуру.

Определение 5.2. Пусть линейное пространство над полем Р и . Тогда называется подпространством пространства Х, если само является линейным пространством относительно сужения операций, определенных для Х.

Нулевое подпространство и само Х называются тривиальными подпространствами.

Пример 5.6. Направленные отрезки, лежащие в некоторой плоскости, образуют подпространство трехмерного пространства.

Пример 5.7. Диагональные матрицы образуют подпространство в пространстве квадратных матриц данного порядка над полем Р.

Ясно, что для того, чтобы доказать, что подпространство в Х, надо просмотреть выполнимость аксиом ЛП. Но можно воспользоваться специальной теоремой.

Теорема 5.1 (критерий подпространства).

Непустое подмножество линейного пространства Х над полем Р является его подпространством тогда и только тогда, когда выполнено .

Необходимость очевидна, а достаточность легко доказывается, ибо должна быть подгруппой аддитивной группы пространства.

Пример 5.8. Пусть , а . Покажем, что – подпространство в Х.

, следовательно, .

Определение 5.3. Пусть Х линейное пространство над полем Р. Системой векторов в Х называется конечный упорядоченный набор векторов из Х. Любой поднабор данной системы будет называться подсистемой этой системы.

Определение 5.4. Пусть задана система векторов пространства Х над полем Р и набор элементов поля , тогда вектор называется линейной комбинацией (ЛК) векторов системы . Элементы поля называются коэффициентами линейной комбинации. А вектор х называют линейно выражающимся через систему с коэффициентами .

Определение 5.5. Множество всех линейных комбинаций данной системы векторов называется линейной оболочкой системы.

Линейную оболочку системы обозначим .

Лемма 5.1. Линейная оболочка всякой системы векторов линейного пространства является его подпространством.

Лемма 5.2 (о транзитивности линейных комбинаций).

Если система линейно выражается через систему , а система линейно выражается через систему , то система линейно выражается через систему .

Линейная зависимость

В этом разделе рассматривается краеугольное понятие всей линейной алгебры. Вопрос, который возникает после определения линейной оболочки, звучит так: какой может быть система, порождающая данную линейную оболочку? Проведем мысленный эксперимент. Пусть задана ненулевая система векторов . Предположим, что первый вектор линейно выражается через остальные векторы. Значит, в соответствующей линейной оболочке можно первый вектор заменить его представлением через остальные, и, таким образом, . Далее, может быть, что некоторый другой вектор, например, линейно выражается через систему , и тогда и так далее. Поступая подобным образом, т.е. удаляя «лишние» векторы приходим к подсистеме, из которой уже нельзя убрать ни одного вектора без разрушения линейной оболочки. Такая подсистема заведомо существует. В крайнем случае, в ней останется один вектор. Памятуя о том, что исходная система была ненулевой, утверждаем, что и подсистема будет таковой. Таким образом, исходную линейную оболочку представляется возможным описать экономным способом, строя ее на «минимальной» системе. Этот эксперимент приводит к следующему определению.

Определение 5.6. Система векторов линейного пространства называется линейно независимой (ЛНЗ), если при

1. ;

2. ни один вектор системы линейно не выражается через остальные.

Определение 5.7. Система, не являющаяся линейно независимой называется линейно зависимой (ЛЗ), т.е. при

1. ;

2. существует вектор системы линейно выражающийся через остальные.

Проведенное рассуждение позволяет сформулировать небольшой результат.

Лемма 5.3. Каждая ненулевая система содержит линейно независимую подсистему, порождающую ту же линейную оболочку.

Вопрос выявления свойства линейной независимости у системы по определению может оказаться непростым, ибо не всегда явно видны линейные представления векторов. Поэтому обратимся к результату, решающему эту задачу проще.

Теорема 5.2 (критерий линейной независимости).

Система векторов линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства нулю линейной комбинации векторов системы следует равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации.

Доказательство. Необходимость. Пусть задана система и сначала .Тогда имеем . Так как ввиду линейной независимости системы, то по

свойству 7 следствий из аксиом получаем, что . Пусть теперь . Предположим противное. Пусть существует линейная комбинация векторов системы, равная нулю, с ненулевыми коэффициентами:

.

Пусть, например, . Тогда получим по следствиям из аксиом

.

Значит, в системе есть вектор, линейно выражающийся через остальные векторы, т.е. она не является линейно независимой. Противоречие доказывает результат.

Достаточность. Снова пусть сначала . Тогда . Тогда , что равносильно линейной независимости системы. Теперь пусть . Опять рассуждаем от противного. Пусть в системе имеется вектор линейно выражающийся через остальные, например, . Именно

.

Тогда, выполняя преобразования равенства, используя следствия из аксиом, получим:

.

Значит, получаем противоречие, ибо не все коэффициенты линейной комбинации заведомо равны нулю.

Теорема полностью доказана. Из этой теоремы можно получить легко критерий линейной зависимости системы.

Теорема 5.3 (первый критерий линейной зависимости).

Система векторов линейного пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда существует линейная комбинация векторов системы, равная нулю, с ненулевым набором коэффициентов.

Эту теорему полезно доказать не опираясь на предыдущую.

Замечание. Важно осознавать, что свойство линейной зависимости или независимости является системным, т.е. относится к системам векторов, а не к отдельным элементам систем.

Пример 5.9. Проверить, является ли система векторов из линейно зависимой.

.

Составим линейную комбинацию системы и приравняем ее нулю:

.

Теперь, используя понятие равенства матриц и умножая каждый вектор на свой коэффициент, получаем линейную систему:

.

Решаем систему методом Гаусса.

.

Очевидно, что система имеет ненулевое решение. Таким образом, система векторов оказывается линейно зависимой по первому критерию линейной зависимости.

Рассмотрим простейшие свойства ЛЗ и ЛНЗ систем.

1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2. Система, содержащая равные векторы, линейно зависима.

3. Система, содержащая пропорциональные векторы, линейно зависима.

4. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, сама линейно зависима.

5. Любая подсистема линейно независимой системы сама линейно независима.

Иногда удобно применять критерий ЛЗ, использующий свойство упорядоченности системы векторов.

Теорема 5.4 (второй критерий линейной зависимости).

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда либо , либо существует вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы.

Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Из того, что система линейно зависима, следует по первому критерию существование линейной комбинации векторов системы, равной нулю, с ненулевым набором коэффициентов:

.

Пусть будет наибольшим номером с условием , , т.е. имеем равенство

.

Тогда, если , то имеем первую часть утверждения, а иначе – вторую, т.е.

.

Теорема доказана.