5.2.1. Каноническая форма для уравнения гиперболического типа
,
правые части (5.2.7), (5.2.8) различные и общие интегралы , - определяют действительные семейства характеристик. Полагая
, . (5.2.9)
Тогда
и
находятся исходя из характеристического
уравнения (5.2.6) и в уравнении (5.2.4)
коэффициенты
и
.
И из уравнения (5.2.4) следует
,
(5.2.10)
это первая каноническая форма уравнения гиперболического типа. Уравнению гиперболического типа придадим другой вид. Для (5.2.9) можно ввести другие переменные
,
,
тогда
,
,
,
так
как
,
,
,
,
,
тогда получается
,
(5.2.11)
вторая каноническая форма гиперболического типа уравнения в частных производных.
Пример. Привести уравнение к каноническому виду
,
здесь
,
,
.
Тогда уравнение
в новых переменных будет
.
Выбираются переменные и такие, чтобы , для этого уравнения, т.е. составляется характеристическое уравнение (5.2.6)
,
находим
,
.
Решение.
,
- являются характеристиками для исходного
уравнения, тогда новые переменные
принимают вид
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
т.е.
- первая каноническая форма гиперболического
уравнения.
,
,
т.е.
- вторая каноническая форма гиперболического
уравнения.
5.2.2.Каноническая форма уравнения параболического типа
,
Уравнения
(5.2.7), (5.2.8) совпадают и тогда получается
один общий интеграл для (5.2.6) и
- определяют характеристику. Полагая
,
.
Тогда из уравнения (5.2.4) вытекает
=0,
так
как
,
то
,
тогда получается следующее уравнение параболического типа в канонической форме
.
(5.2.12)
5.2.3. Каноническая форма уравнения эллиптического типа
Для
уравнения эллиптического типа
и правые части (5.2.7) и (5.2.8)- комплексные.
Пусть
- комплексный интеграл уравнения (5.2.7).
Тогда
-
общий интеграл сопряженного уравнения
(5.2.8).
Вводятся другие переменные
,
,
так что
,
.
Выбираются переменные и такие, чтобы
.
Находятся
производные
,
,
,
,
,
тогда
,
так как комплексное число равно нулю, то и составляющие его части равны нулю
,
,
значит
,
.
И из формулы (5.2.4) получается
,
.
(5.2.13)
Формулой (5.2.13) определяется каноническая форма эллиптического типа уравнения в частных производных.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
,
,
следовательно, уравнение эллиптического
типа. Выбираются новые координаты,
связанные с поворотом координатных
осей (рис. 5.2)
,
,
Рис. 5.2
,
,
,
,
,
,
, ,
,
,
,
.
Теперь все эти производные поставляются в исходное уравнение и получается
,
или окончательно
.
И
так, в зависимости от знака выражения
имеют место следующие
канонические формы уравнения (5.2.1):
(гиперболический
тип)
,
или
,
(эллиптический
тип)
,
(параболический
тип)
.
5.2.4. Алгоритм приведения уравнения к канонического виду
Определить тип линейного уравнения в частных производных второго порядка
(5.2.14)
или
, (5.2.15)
где
Вводится
новая система координат
и
.
Ставится задача выбора системы координат и , чтобы уравнение (5.2.14) имело наиболее простую форму в новых переменных . Имеем .
У равнение координатной линии в системе координат имеет вид . Полный дифференциал этой функции двух переменных равен нулю и
т.е. производные и пропорциональны друг другу в каждой точке плоскости и коэффициент пропорциональности . Каждая криволинейная система координат имеет свою характеристику и по ней можно определить само уравнение координатной линии
, , .
1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15).
(5.2.16)
Из уравнения (5.2.16) следует
, (5.2.17)
. (5.2.18)
В зависимости от знака выражения имеют место следующие канонические формы уравнения (5.2.15):
(гиперболический тип) , или ,
(эллиптический тип) ,
(параболический тип) .
Из (5.2.17, 4.2.18) имеем
, ,
или
, .
Функции и являются характеристиками преобразования координат. Таким образом получаем уравнения характеристик
, . (5.2.19)
в случае уравнения гиперболического типа в качестве
и
берут общие интегралы (5.2.19)
уравнений (5.2.16),
т.е.
в случае уравнения параболического типа в качестве берут один из общиг интегралов (5.2.19), т.е.
,
в качестве
берут произвольную,
дважды дифференцируемую функцию
,
не выражающуюся через
и ориентированную
на вид функции
в формуле (5.2.14),
т.е.
;в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (5.2.19) :
Пересчитываются все производные, входящие в уравнение (5.2.14), используя правило дифференцирования сложной функции:
.
,
, (5.2.20)
.
.
Подставляются найденные производные в исходное уравнение (5.2.14) и приводятся подобные слагаемые. В результате уравнение (5.2.14) примет один из следующих видов:
в случае уравнения гиперболического типа:
;
в случае уравнения параболического типа:
;
в случае уравнения эллиптического типа:
.