5.2.4.3 Задача 3
Определить тип уравнения
(5.2.15-3)
и привести его к каноническому виду.
Решение:
1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-3).
(5.2.16-3)
,
или
(5.2.16-3)
Вычисляется выражение
.
, следовательно имеем уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.
Из уравнения (5.2.16-3) следует
, ,
,
,
, .
это пара комплексно-сопряженных уравнений . Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)
Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов:
(5.2.19-3)
Найдем частные производные
2. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение (5.2.15-3).
Используя формулы (5.2.20), получим:
Здесь
слева написаны коэффициенты уравнения
(5.2.15-3) при соответствующих производных.
Справа (5.2.15-3) имеем
,
из (5.2.19-3)
следует
.
Собирая подобные слагаемые, получим:
,
или
Вывод. Уравнение (5.2.15-3) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид уравнения
,
где
5.3. Уравнение Лапласа в полярной системе координат Уравнение Лапласа в декартовой системе координат
,
(5.3.1)
запишем
функцию
в полярной системе координат. Связи
между координатами следующие
,
и
,
,
,
,
.
Пользуясь формулами (5.2.3) запишем связи между производными
,
,
,
(5.3.2)
(5.3.3)
Найдем
производные
и
продифференцировав
, .
,
,
получаем
,
.
Теперь выражения (5.3.2) и (5.3.3) почленно сложим
,
,
,
,
Таким образом после почленного сложения (5.3.2) и (5.3.3), слева имеем уравнение Лапласа в декартовой системе координат , а справа в полярной системе координат
или
.
(5.3.4)