Практическое занятие №1.Определители. Вопросы для самопроверки.
1.
Что
называется определителем 2-го порядка?
Вычислите устно определитель
2. Что
называется определителем 3-го порядка?
Вычислите устно определитель
3. Объясните,
что такое минор данного элемента
определителя. Чему равен минор элемента
определителя
?
4. Объясните, что такое алгебраическое дополнение элемента определителя.
5. Чему
равно алгебраическое дополнение элемента
определителя
?
6. Как связаны между собой алгебраическое дополнение и минор данного элемента?
7. Изменится ли определитель, если к элементам первой строки прибавить соответствующие элементы второй строки?
8. Изменится ли определитель, если переставить местами любые две строки определителя?
9. Сформулируйте теорему о разложении определителя по элементам строки (столбца).
10. Вычислить
определитель
,
разложив по элементам первой строки и
первого столбца.
11. Разложите определитель четвертого порядка по элементам первой строки и второго столбца.
12. Вычислить
определитель
.
13. Из скольких слагаемых состоят определители 4-го порядка?
14. Как изменится определитель 3-го порядка, если его первую строку переставить на место второй, вторую – на место третьей, третью – на место первой?
15. Какие способы вычисления определителей вы знаете?
16. Перечислите свойства определителей.
14
Примеры решений задач.
1. Вычислить
определитель второго порядка, используя
свойства определителей:
Решение:
Если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель матрицы не изменится. Элементы первой строки данного определителя умножим на (– 1) и прибавим их к элементам второй строки.
.
2. Вычислить
определитель
,
минор
,
алгебраическое дополнение
.
Решение:
Определитель третьего порядка вычислим по правилу треугольников:
.
– определитель 2-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием 3-ей строки и 1-го столбца:
.
По определению:
.
3. Вычислить
определитель
,
разложив по элементам i=3-ой
строки и j=2-того
столбца.
Решение:
.
15
.
4. Решите
уравнение
.
Решение:
Разложив
определитель, получаем квадратное
уравнение
.
Вычисляем
дискриминант
.
По
формуле
, находим корни:
,
.
5. Решите
неравенство
.
Решение:
Разложив
определитель, получаем линейное
неравенство
.
Поделив на
,
получим:
.
6. Вычислить
определители четвертого порядка: а)
;
б)
.
Решение:
а)
Второй столбец имеет три нулевых
элемента. Разложив определитель по
элементам второго столбца, получим:
.
б) Третья строка определителя содержит два нулевых элемента. Сначала в этой строке образуем три нулевых элемента. Для этого все элементы четвертого столбца умножим на 3 и прибавим к соответствующим элементам первого столбца. Далее, полученный определитель вычисляем аналогично пункту а):
16
.
Задания для аудиторной и домашней работы.
1. Вычислить определители второго порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
,
ж)
;
з)
.
2. Вычислить определители третьего порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
3. Решить уравнения.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
4. Решить уравнения.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
17
5. Вычислить определители четвертого порядка.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.