Практическое занятие №2.

Вопросы для самопроверки.

1.Дайте определение числовой матрицы.

2.Какая матрица называется треугольной?

3.Какая матрица называется единичной?

4.Какие матрицы называются равными?

5.Какие преобразования называются элементарными преобразованиями матриц?

6.Какие матрицы называются эквивалентными?

7.Какие две матрицы можно сложить (вычитать)?

8.Какая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А?

9.Может ли выполняться равенство А= ?

10.Для каких матриц А и В определено произведение А*В?

11.Как вычисляются элементы произведения А*В? Приведите пример.

12.Какая матрица называется невырожденной(вырожденной)?

13.Приведите примеры невырожденных (вырожденных) матриц.

14.Дайте определение обратной матрицы.

15.Сформулируйте теорему о существовании обратной матрицы.

16.Составте обратную матрицу для матрицы А=

17.Дайте определение ранга матрицы.

18.Дайте определение базисного минора.

19. Сформулируйте теорему о ранге матрицы.

20.Перечислите свойства ранга матрицы.

25

Примеры решения задач: 1. Даны матрицы А= и В= , Найти: а) А+В; б) А-В; в) 5А-2В; г) , ; д) А* , В* ; е) *А; *В. Решение: а) По определению суммы матриц А+В= = б) По определению разности матриц А-В= в) По определению произведения матрицы на число и разности матриц 5А-2В= - = - =

= г) По определению транспонированной матрицы = , = . д) По определению произведения матриц А* = * = =

= . Аналогично находим В* = * = = е) = * = =

*В= = =

26

2. Найти обратную матрицу для матрицы А= . Решение: Удобный практический подход к вычислению матрицы состоит в следующем. Сначала записываем транспонированную матрицу для данной матрицы А: = Затем составляем матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы (матрицу называют присоединенной по отношению к матрице А): = -3, = 1, = -5, = 2. .

И наконец, умножив матрицу на число , получим искомую обратную матрицу

= = 2*(-3) - (-1)*5 = - 6+5= -1 ≠ 0

=

3. Найти обратную матрицу для матрицы

А = Решение: 1) Находим определитель матрицы А. Если ≠0, то обратная матрица существует. = -4+5 = 1 ≠ 0 2) Находим , транспонированную к А: 3) Находим алгебраическое дополнение элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу

= = 1, = - = 1, = = -2; = - = 0, = = -1, = - = 5;

= = 0, = - = -1 , = = 4

27

4) Находим обратную матрицу по формуле ;

* =

5) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формуле А* = Е:

А* = * = = = Е 4. Найти ранг и базисный минор матрицы: а) А= ; б) А= . а) Матрица А имеет минор второго порядка, отличный от нуля, например, М= = -2+1= -1≠0, а Следовательно rang A=2, а минор М является базисным. Отметим, что в качестве базисного можно взять миноры , , , и.т.д, так как они отличны от нуля. б) Вычислим ранг матрицы А с помощью элементарных преобразований А= ̴̴̴ ̴̴̴ = В

Rang A= rang B, так как при элементарных преобразованиях матрицы ранг матрицы не меняется. Rang B = 3, так как матрица B содержит минор 3-го порядка M= = 1 ≠ 0 и минор М- является базисным минором.