Преобразования графика функции:

1. Параллельный перенос

Для построения графика ( надо сдвинуть график функции вправо (влево) вдодь оси на величину .

Для построения графика ( надо сдвинуть график функции вниз (вверх) вдодь оси на величину .

2. Изменение масштаба

График функции получается из графика функции растяжением при вдоль оси и сжатием при .

График функции получается из графика функции сжатием при вдоль оси и растяжением при .

3. Симметрия

Графики функций и симметричны относительно оси .

Графики функций и симметричны относительно оси .

Примеры:

1. Построить график функции  .

Сначала изобразим график синуса, его период равен  :

Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси OY в 2 раза: То есть, график функции   получается путём сжатия графика   к оси ординат в два раза.

2. Построить графики функций  и

График функции   получается путём сжатия графика экспоненты   к оси OY в два раза. А график   – путём растяжения графика экспоненты   от оси OY в два раза:

3. Построить график функции 

График функции   получается путём симметричного отображения графика   относительно оси ординат:

4. Построить график функции 

Берём параболу   и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:

5. Построить график функции 

Гиперболу   сдвинем вдоль оси OX на 2 единицы влево:

Приложение к практическому занятию № 22.

Решить уравнения:

Введём новую переменную: . Уравнение примет вид:

Приводим к общему знаменателю:

Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

и

Делаем обратную замену: и . Откуда .

Ответ:

Метод интервалов

Пусть заданное неравенство имеет вид:  . 

На числовую ось наносят точки   , разбивающие ее на промежутки, в которых выражение    определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений   и  . Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.

 Определяют и отмечают на числовой оси знак выражения   для значений  , принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции   и   являются многочленами и не содержат множителей вида    , то достаточно определить знак функции   в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.

Если же в числителе или знаменателе дроби   имеется множитель вида   , то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение  заданному неравенству.

Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби   в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие   Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.

Решить неравенство методом интервалов:

1. 

РешПри умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, меняется знак неравенства!

 

 

   В

Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:

  

Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений   и  . Из первого получаем     Из второго получаем     Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки   и   обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки   и   — светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):

Определяем теперь знаки выражения   на полученных промежутках (подставляем любое значение   из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:

Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: 

Ответ: