5.6.7. Представление кривой с помощью b-сплайнов

Пусть U = (u₀ = 0, u₁, …, u_i, u_n = n) – разбиение интервала [0, n] на отрезки, где u_i = i, а i = 0 … n – натуральное число. Точки u_i называются узлами, U – множеством узлов. B-сплайном k-го порядка называется функция M_i,k(x), равная нулю на данном множестве узлов, за исключением последовательных отрезков.

В случае B-сплайнов аппроксимируемая кривая делится на n участков ,

выделяемых последовательными точками P₀, P₁, P₂,…P_n. Участок между парой соседних точек P_i и P_i+1 аппроксимируется B-сплайном, построенным с использованием четырех точек P_i–1, P_i, P_i+1 , P_i+2. Аппроксимация с помощью B-сплайнов позволяет получить кривые, которые имеют такие же свойств, как и кривые Безье.

Представление кривой с помощью B-сплайнов в матричной форме имеет вид:

,

где M_BS – матрица B-сплайнов:

;

G_BS – вектор координат узлов:

.

В случае построения кривых методом B-сплайнов необходимо иметь зависимость между опорными точками кривой P_i и узлами u_i.

Свойства кривой, построенной с использованием B-сплайнов:

1. Кривая определяется линейной комбинацией сплайн-функций.

2. Локальное изменение опорных точек не приводит к изменению всей формы кривой.

3. Кривая может содержать прямолинейные отрезки.

5.7. Описание аналитически неописываемых геометрических объектов

3-го уровня

5.7.1. Описание поверхности по Фергюсону

Кривая в форме Фергюсона определяется координатами концевых точек и значениями производных в них. Если такие четыре кривые замкнуть, то полученный контур можно рассматривать как границу участка (отсека) поверхности.

Внутренняя часть поверхности также определяется с помощью кривых в форме Фергюсона, которые в зависимости от параметров соединяют две противолежащие границы отсека (рис.). Границы отсека сами задают концевые точки переменной кривой. Например, кривы AB и DC определяют концевые точки кривой EF, которая изменяется в направлении параметра u.

5.7.2. Описание поверхности методом Кунса

Поверхность в трёхмерном пространстве определяется множеством точек, которые имеют две степени свободы. Если u и v – два независимых параметра, то поверхность, построенная методом Кунса, определяется следующим образом:

(x, y, z) = (X(u, v), Y(u, v), Z(u, v)).

Независимые переменные u и v изменяются в интервале от 0 до 1. Соответственно, границы описываемого отсека поверхности:

P(u, v) = uv;

P(u, 0) = u0;

P(u, 1) = u1;

P(0, v) = 0v;

P(1, v) = 1v.

где P(u, v) – функция двух переменных.

Зафиксировав два параметра, можно определить точку на поверхности. Так определяются концевые точки отсека поверхности. Для дальнейшего описания поверхности Кунс ввёл скалярные функции смешения, являющиеся функцией одной переменной.

Если граница отсека поверхности описывается полиномом третьей степени, то при его записи в параметрической форме функции смешения имеют следующий вид:

F₀ (u) = F_0u = 2u³ – 3u² + 1;

F₁ (u) = F_1u = – 2u³ + 3u²;

G₀ (u) = G_0u = u³ – 2u² + u;

G₁ (u) = G_1u = u³ – u².

Уравнение для бикубического участка поверхности в матричной форме имеет вид:

Q(u, v) = (F_0u, F_1u, G_0u, G_1u)·P· ,

где P – матрица, содержащая значения векторов, характеризующих положение границ поверхности, и значения векторов производных в углах участков поверхности.