23. Уравнение Максвелла и их физический смысл, вывод волнового уравнения из уравнений Максвелла

1. Мы знаем теорему о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля: = Это уравнение показывает, что циркуляция вектора Н  по произвольному замкнутому контуру L равна сумме токов проводимости и токов смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур. Или другими словами, показывает связь между полным током и порождаемым им магнитным полем.2. Это уравнение описывает явление электромагнитной индукции (закон Фарадея) и устанавливает количественную связь между электрическими и магнитными полями: переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. В этом физический смысл уравнения.3.Ещё два уравнения выражают теорему Остроградского–Гаусса для электрического и магнитного полей (статических полей) Поток вектора электрического смещения D через замкнутую поверхность S равен сумме зарядов внутри этой поверхности. Это уравнение показывает также, чтосиловые линии вектора D  и E начинаются и заканчиваются на зарядах.4. И для магнитного поля . Это уравнение выражает то свойство магнитного поля, что линии вектора магнитной индукции B  всегда замкнуты и что магнитных зарядов нет.5, 6, 7.Наконец надо помнить, что величины, входящие в эти четыре уравнения не независимы, и между ними существует связь:B= здесь σ – удельная проводимость, jстр – плотность сторонних токов.

21. Теорема Остроградского – Гаусса. Формулировка и доказательство теоремы

Теорема Остроградского-Гаусса: Полный поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную. ;

Электростатическая теорема Гаусса. Она устанавливает математическую связь между потом вектора напряженности через замкнутую поверхность и зарядами, находящимися в объеме, ограниченном данной поверхностью. Предположим, что имеется некоторый объем V, ограниченный поверхностью S и точечный заряд Q  Внутри этого объема. Рассмотрим поток N напряженности   сквозь эту поверхность. Так как Q точечный заряд. То напряженность поля равна ; Bведем понятие телесного угла dΩ: ; Полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность из точек внутри объема, равен 4π, а поток ; Аналогичным образом можно посчитать поток   сквозь замкнутую поверхность, если точечный заряд находится вне объема. В этом случае, как можно показать ; ; электростатическая теорема Гаусса для точечного заряда.  Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона, а значит теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона. = ; Это и есть дифференциальная формулировка закона Кулона или уравнение Максвелла для  . Пример 1.Имеется точечный заряд q. Определим напряженность поля   как функцию от r. Окружаем заряд сферой радиуса r.  . Угол между E и dS равен нулю. В силу симметрии E:  ,  ;

22. Теорема Остроградского – Гаусса. Формулировка и примеры применения к расчету электростатических полей: плоскости и шара.

Потенциал — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Работа в электрическом поле. При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 по траектории l  работа равна: ;Потенциальность кулоновского поля. Поле, созданное кулоновскими зарядами, потенциально. Поле сил называется потенциальным, если при перемещении в этом поле работа зависит лишь от начального и конечного положения точек (тела) пути и не зависит от формы пути - траектории. Вторым эквивалентным определением потенциальности поля является условие равенства нулю работы при перемещении в нем по любому замкнутому контуру. На основании принципа суперпозиции из потенциальности поля точечного заряда следует потенциальность произвольного электростатического поля. =0; интегральная формулировка потенциальности электрического поля. Дифференциальная формулировка потенциальности поля. Если воспользоваться формулой Стокса = следует дифференциальная формулировка потенциальности поля:rot =0; Выражение работы через потенциал. Если заряд перемещается между точками (1) (2), то ;Потенциал поля точечного заряда. ; Потенциал поля системы точечных зарядов. Если имеется система из точечных зарядов, то потенциал поля в некоторой точке А равен ; В случае, когда заряд распределен непрерывно с объемной плотностью  = , потенциал в некоторой точке (x, y, z) поля: ;Бесконечность потенциала поля точечного заряда. При   потенциал  )->  . Это связано с тем, что точечный заряд формально имеет бесконечную объемную плотность, поскольку его объем равен нулю. Именно бесконечная объемная плотность заряда и обуславливает обращение в бесконечность потенциала. При непрерывном распределении заряда с конечной плотностью потенциал нигде не обращается в бесконечность, т. е. потенциал функция конечная. Конечность потенциала при непрерывном распределении заряда с конечной плотностью. При непрерывном распределении заряда с конечной плотностью потенциал нигде не обращается в бесконечность. Непрерывность потенциала. Производная от потенциала по декартовой координате дает соответствующую компоненту напряженности электрического поля. Ясно, что напряженность не может быть бесконечной, значит, производные по координатам от потенциала должны быть конечными. А это означает, что потенциал является непрерывной функцией. Таким образом, потенциал   является непрерывной и конечной функцией с конечными производными по координатам. Эти условия важны при решении дифференциальных уравнений для  

24. Электрические колебания. Идеальный колебательный контур. В цепи, содержащей индуктивность L и ёмкость С, могут возникать электрические колебания. Такая цепь называется колебательным контуром.Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток. Поскольку активное сопротивление контура R=0 , полная энергия остаётся постоянной. Если энергия конденсатора равна нулю, то энергия магнитного поля максимальна, и наоборот.Из  сопоставления  электрических  и  механических   следует, что энергия электрического поля    аналогична потенциальной энергии mgh или 1/2kx², а энергия магнитного поля K=  аналогична   кинетической  энергии;   L  играет  роль  массы  т,  1/С – роль коэффициента жесткости k. – собственная частота контура, отсюда получим  основное уравнение колебаний в контуре: ;q=qmcos( mcos(  Umcos(  .Таким образом, ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. На индуктивности, наоборот, напряжение опережает ток на π/2. ; -волновое сопротивление [Ом].Идеальный колебательный контурКолебательный контур называется идеальным, если он состоит из катушки и емкости и в нем нет сопротивления потер.Рассмотрим физические процессы в следующей цепи:1 Ключ стоит в положении 1 Конденсатор начинает заряжаться, от источника напряжения и в нем накапливается энергия электрического поля , т.е.конденсатор становится источником электрической энергии.2. Ключ в положении 2. Конденсатор начнет разряжаться. Электрическая энергия, запасенная в конденсаторе переходит в энергию магнитного поля катушки. Определим угловую частоту свободных колебаний:Wэ=Wm; = ;

25 Электрический диполь во внешнем электрическом поле.Рассмотрим, каким воздействиям подвергается электрический диполь с электрическим моментом   во внешнем электростатическом поле  . В этих условиях он испытывает действие силы     ; момента = ; и приобретает потенц энергию =- ; ; где   - угол между вектором   и направлением напряженности электростатического поля . Tолько в неоднородном поле   возникает сила, действующая на диполь как на систему зарядов. Потенциальная энергия системы будет минимальна, если направления векторов   и   совпадают между собой. В этом состоянии момент сил обращается в ноль.