1. Законы идеальных газов

Идеальным называется газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый объем и не взаимодействуют до соприкосновения, взаимодействие молекул при соударении происходит по законам абсолютно упругого удара.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева )

, (1.1)

где p – давление газа, V – его объем, T – абсолютная температура, m – масса газа, M – молярная масса газа, R = 8.31 Дж/(моль∙K) – газовая постоянная.

Замечания. (i) Уравнение состояния (1.1) применяют к газам, взятым при условиях, не слишком отличающихся от нормальных условий (p = 1атм = 1,013∙10⁵ Па, T = 273^oK или t = 0^oC), а также к разреженным газам. Для сильно сжатых (уплотненных) газов, находящихся при очень больших давлениях (свыше 10⁷Па) или при слишком низких температурах уравнение (1.1) неприменимо. (ii) Уравнение состояния (1.1) связывает между собой пять физических величин, характеризующих состояние газа, – p, V, T, m, M – и позволяет по заданным четырем найти пятую величину.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Клапейрона-Менделеева для изопроцессов (процессов, протекающих при неизменном значении какого-либо параметра состояния):

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T=const и m=const)

pV = const ,

б) закон Гей-Люсакка (изобарический процесс: p = const и m=const)

V/T = const ,

в) закон Шарля (изохорический процесс: V = const и m=const)

p/T = const .

Молярная масса смеси газов равна

, (1.2)

где ν_i = m_i/M_i - количество молей вещества i-ой компоненты смеси.

Закон Дальтона определяет давление смеси газов

p = ∑ p_i = p₁ + p₂ + p₃ + …+ p_n , (1.3)

где p_i – парциальное давление i-ой компоненты смеси, n – число компонентов смеси.

Концентрация молекул равна , где N – количество молекул в данной системе.

Число частиц в 1 моле вещества равно числу Авогадро

N_A = 6,022 ∙10²³моль^-1.

Постоянная Больцмана

k = = 1,38∙10^-23Дж/K .

Примеры решения задач

Пример 1.1 Сколько молекул воздуха находится в комнате, имеющей размеры 8 · 4 · 3 м³, при температуре t = 18^oC и давлении p = 0,97∙10⁵ Па ?

Решение. Число частиц N в комнате можно определить, вычислив количество молей воздуха ν в комнате и зная число частиц в одном моле ( это – число Авогадро N_A ) :

.

Количество молей воздуха в комнате можно определить из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1):

.

Подставляя это выражение в формулу для N, и учитывая, что R/N_A = k – постоянная Больцмана, получаем

.

Вычисляем значение N, используя данные задачи в единицах системы СИ и температуру в градусах Кельвина

Ответ. В комнате находится 2.32∙10²⁷ частиц воздуха.

Пример 1.2 При температуре t₁ = 20^oC давление воздуха в автомобильной шине p₁ = 6∙10⁵ Па. Найти давление в шине во время движения в автомобиле, если температура воздуха в ней повысится до t₂ = 40^oC. Изменением объема шины пренебречь.

Решение. Так как масса воздуха в шине и объем шины не изменяются, то процесс является изохорическим и из уравнения Клапейрона-Менделеева следует (закон Шарля):

.

Поэтому для нашей задачи имеем

,

откуда находим давление после повышения температуры

.

Подставляем численные значения, учитывая, что в уравнении состояния фигурирует абсолютная температура в градусах Кельвина:

.

Ответ. Давление в шине во время движения автомобиля 6.41∙10⁵ Па.

Пример 1.3 В сосуде объемом V = 30 л содержится идеальный газ при температуре t = 0^оC. После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на Δp = 0,78 атм (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях ρ₀ = 1,3 г/л.

Решение. Из уравнения состояния (1.1) находим исходную (m₁) и конечную (m₂) массу газа:

и .

Следовательно, масса выпущенного газа равна

.

В этом выражении осталась неизвестной молярная масса M. Найдем ее из уравнения состояния (1.1) и известной плотности газа при н.у. ρ₀= m₀ / V₀:

.

Подставляя молярную массу в выражение для Δm , получаем

.

Подставляем численные значения, учитывая, что при н.у. давление равно p₀ = 1 атм :

.

Знак минус означает, что масса уменьшилась.

Ответ. Масса выпущенного газа 30,4 г.

Пример 1.4 В трубке, запаянной с одного конца, столбик воздуха заперт столбиком ртути, имеющим длину h = 19 cм. Если трубка расположена вертикально открытым концом вниз, длина столбика воздуха l₁ = 10 cм, а если перевернуть трубку открытым концом вверх, то длина столбика воздуха будет l₂ = 6 cм. Найти атмосферное давление.

Решение. Когда трубка расположена вертикально открытым концом вниз, то давление столбика воздуха p₁ и давление столбика ртути p_r = ρgh (g – ускорение свободного падения, ρ – плотность ртути, h – высота столбика ртути) уравновешиваются атмосферным давлением p_at :

.

Если перевернуть трубку открытым концом вверх, то давление столбика ртути p_r = ρgh и атмосферное давление будут уравновешиваться давлением столбика воздуха p₂

.

Так как масса воздуха в трубке и температура не изменяются, то процесс является изотермическим и подчиняется закону Бойля-Мариотта:

,

где V₁ = l₁S и V₂ = l₂S – объемы воздуха в трубке, расположенной открытым концом вниз и вверх, соответственно, S – площадь поперечного сечения трубки. Подставим выражения для давлений и объемов в этот закон:

,

откуда получаем:

.

Теперь подставим численные значения высоты столбика ртути в системе СИ, из таблиц плотностей возьмем плотность ртути ρ= 3,6∙10³ кг/м³, ускорение свободного падения g = 9,8 м/с² :

.

Ответ. Атмосферное давление равно 1,01∙10⁵ Па.

Пример 1.5 Сколько ходов n надо сделать, чтобы при помощи поршневого насоса, захватывающего при каждом ходе объем V₀ = 400 см³ воздуха, откачать воздух из стеклянного баллона, имеющего объем V = 1 л, до давления p_n = 10² Па, если первоначальное давление в баллоне p₀ = 10⁵ Па. Температуру воздуха считать постоянной.

Решение. Проследим за процессом откачки в течение одного хода поршневого насоса. Газ, который вначале занимал объем V при давлении p₀ частично перейдет в камеру насоса, т.е. займет объем (V+V₀). Так как процесс является изотермическим, то выполняется закон Бойля-Мариотта:

,

отсюда

.

Далее воздух из камеры удаляется и поршень приводится в первоначальное положение, при этом масса воздуха уменьшается. Поэтому перед вторым ходом поршня газ в баллоне объема V имеет давление p₁. После второго хода поршня опять получаем

,

отсюда

.

Следовательно, после n ходов поршня давление в баллоне будет

.

Чтобы найти n, возьмем логарифм этого выражения и получим:

.

Выполнив вычисления, найдем n = 20.

Ответ. Чтобы понизить давление в баллоне до указанной величины, необходимо сделать 20 ходов поршня.

Пример 1.6 Сосуд разделен перегородками на три части, объемы которых V₁, V₂ и V₃, в которых находятся газы при давлениях p₁, p₂ и p₃, соответственно. Какое давление установится в сосуде после удаления перегородок, если температура при этом осталась неизменной.

Р ешение. После удаления перегородок каждая газовая компонента в результате диффузии стремится занять весь объем V=V₁+V₂+V₃ . Поскольку масса каждой компоненты сохраняется и температура процесса (по условию задачи) неизменна, то для каждой компоненты справедлив закон Бойля-Мариотта:

,

где p’_i – парциальное давление i-компоненты в образовавшейся смеси газов. По закону Дальтона находим, что общее давление смеси газов равно сумме парциальных давлений,

.

Пример 1.7 В сосуде емкостью V = 0,5 л находится масса m = 1г парообразного йода. При температуре t = 1000^оC давление в сосуде оказалось равным p = 700 мм рт.ст. Найти степень диссоциации молекул йода J₂ на атомы J при этих условиях. Молярная масса йода J₂ равна M₂ = 254 г/моль.

Решение. В результате диссоциации в сосуде фактически образовалась смесь двух газов J₂ и J. Массу каждой компоненты обозначим m₂ и m₁, соответственно. Очевидно, что общая масса йода при этом сохранилась и равна их сумме m = m₁ + m₂. Тогда степень диссоциации можно определить, как отношение массы образовавшегося атомарного йода к общей массе,

.

Отсюда получим, что

.

Для каждой компоненты из уравнения состояния (1.1) можно определить парциальное давление:

.

Согласно закону Дальтона находим, что общее давление смеси газов, данное в условии задачи, равно сумме парциальных давлений,

.

Подставим сюда выражения для масс каждой компоненты через α и общую массу m, и учтем, что молярная масса атомарного йода M₁=M₂/2. Разрешая полученное уравнение относительно α , получим

.

Выполним вычисления, переводя значения величин в единицы системы СИ: T=1273^оK, p = 700 мм рт.ст. = 0.7м∙ 13.6∙10³ кг/м³∙9.8 м/с².

Ответ. Степень диссоциации йода α = 0.12.

Пример 1.8 Превышается ли и если да, то во сколько раз значение предельно допустимой концентрации (ПДК) для аммиака, равное 0,2 мг/м³ , при обнаружении его запаха, если порог обнаружения запаха для аммиака составляет 46,6 ppm? Атмосферное давление равно 100 кПа, температура 25^оС.

Решение. Для ответа на вопрос необходимо привести объемную концентрацию, соответствующую порогу обнаружения запаха, и ПДК (массовую концентрацию) к одинаковым единицам измерения и найти их отношение. В химии объемная пороговая концентрация в единицах ppm показывает количество объемов данной компоненты V в одном миллионе объемов газовой смеси V₀ при тех же условиях, т.е. в нашем случае

= 46,6 .

Массовая концентрация определяется как масса вещества компоненты в единице объема газовой смеси, т.е. . Выразим массу аммиака из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1) и получим массовую концентрацию:

Теперь сравним найденную концентрацию C’ с ПДК:

.

Ответ. При обнаружении запаха аммиака, его концентрация в воздухе в 160 раз превышает ПДК.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Температура воздуха в больничной палате объемом 50 м³ при давлении 740 мм рт.ст. была равна 15^оС. После подогрева воздуха калорифером его температура поднялась до 20^оС. Найти массу воздуха, вытесненного из комнаты.

2. У глубоководных рыб плавательный пузырь выходит через рот наружу, если их извлечь из воды. На основе какого закона можно объяснить это явление?

3. Почему нагретая медицинская банка «присасывается» к телу человека?

4. Гремучая змея реагирует на изменение температуры 0,001^оК. Сможет ли она уловить изменение температуры газа в стеклянном сосуде, если увеличить давление в нем на 1 мм.рт.ст. ?

5. Воздух на улицах больших городов может содержать в среднем до 10 мг/м³ окиси углерода за счет выхлопных газов. Определить парциальное давление окиси углерода при температуре 20 ^оС.

6. Объем пузырька воздуха, всплывающего на поверхность со дна озера, увеличился в 2 раза. Определить глубину озера. Температура воздуха на поверхности озера t₂ =27 С, а на дне t₁ =17 С. Атмосферное давление нормальное.

7. Во сколько раз будет превышено значение ПДК для уксусной кислоты, равное 0,2 мг/м³, если на складе произошла авария (разлилась кислота) и установилось динамическое равновесие между парами и жидкой уксусной кислотой? Парциальное давление паров уксусной кислоты принять равным 3 Па. Атмосферное давление равно 101,3 кПа, температура 25^оС.

8. В баллоне объемом V₁ = 200 л при температуре t = 20^оC и давлении p=10⁷Па находится кислород. Найти объем, который газ занимал бы при нормальных условиях.

9. В закрытом баллоне объемом V = 2л находится воздух, давление которого p₁ = 0.53∙10⁵ Па при комнатной температуре. Затем баллон опускается в воду той же температуры и на глубине h = 1,2 м открывается. Какой объем воды войдет в баллон, если атмосферное давление равно p₀ = 0,99∙10⁵ Па ?

10. В сосуде находится смесь m₁ = 7г азота и m₂ = 11г углекислого газа при температуре t = 17^оC и давлении p = 1 атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.