3. Основы молекулярно-кинетической теории газов. Явления переноса

Молекулярная физика занимается изучением тепловой формы движения материи на микроскопическом уровне и позволяет истолковать наблюдаемые свойства (давление, температуру и т.д.) тел на основе статистических методов как суммарный результат действия большой совокупности микрочастиц – атомов и молекул.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Основное уравнение кинетической теории газов связывает давление p с концентрацией n и средней кинетической энергией поступательного движения молекул :

, (3.1)

где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Средняя кинетическая энергия (поступательного и вращательного движения) молекулы определяется следующим образом:

, (3.2)

где i – число степеней свободы частицы газа.

Распределение Максвелла молекул по скоростям:

, (3.3)

где dN – число молекул из общего числа N, имеющих при температуре T скорости в интервале (υ,υ+dυ), m – масса молекулы. Для решения задач часто используют другую форму записи этого распределения:

, (3.4)

где u= υ/υ_в – скорость, нормированная на наиболее вероятную скорость υ_в .

Скорости молекул:

наиболее вероятная

, (3.5.1)

средняя квадратичная

, (3.5.2)

средняя арифметическая

. (3.5.3)

Распределение Больцмана:

, (3.6)

где n – концентрация частиц в области пространства, где потенциальная энергия равна U, n₀ – концентрация частиц в области пространства, где потенциальная энергия равна нулю (например, у поверхности Земли).

Барометрическая формула выражает убывание давления газа с высотой h над поверхностью Земли:

. (3.7)

Средняя длина свободного пробега молекул

, (3.8)

где n – концентрация молекул, σ = πd² – эффективное поперечное сечение соударения, d – диаметр молекулы.

Уравнение диффузии (закон Фика) для потока массы M_i i-ой компоненты вещества через площадку S, перпендикулярную направлению переноса z:

, (3.9)

где ρ_i – парциальная плотность компоненты, D – коэффициент диффузии.

Уравнение теплопроводности (закон Фурье) для потока тепла q через площадку S, перпендикулярную направлению переноса z:

, (3.10)

где dT/dz – градиент температуры, κ– коэффициент теплопроводности.

Уравнение для силы трения F между двумя слоями жидкости или газа, перпендикулярной направлению переноса z :

, (3.11)

где dv/dz – градиент скорости, показывающий, как быстро изменяется скорость в направлении z , перпендикулярном направлению движения слоев, η – коэффициент вязкости.

Связь между средней скоростью , длиной среднего пробега λ молекул газа и коэффициентом диффузии D:

, (3.12)

коэффициентом теплопроводности:

, (3.13)

коэффициентом вязкости:

. (3.14)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 3.1 Найти число молекул кислорода O₂, скорости которых заключены в пределах от 195 до 205 м/с при t = 0^oC. Масса кислорода m=0,1кг.

Р ешение. По закону Максвелла (3.4) распределения молекул по скоростям, число молекул dN, скорости которых лежат в интервале от u до (u + du) равно

,

где u = υ / υ_в – отношение скорости молекул к наиболее вероятной скорости υ_в = (2RT/M)^1/2, N – общее число молекул. Число молекул со скоростями от u₁ = υ₁/ υ_в до u₂ = υ₂/υ_{в r} можно найти, проинтегрировав это выражение на заданном интервале:

.

Поскольку данный интеграл в конечном виде не берется, воспользуемся приближенным методом трапеций, учитывая, что интервал значений скоростей

сравнительно мал, см. рисунок, , и среднее значение скорости . Тогда интеграл будет равен самой функции от среднего значения, умноженной на интервал:

.

Подставляем значения, принимая во внимание, что общее число молекул можно найти, зная число молей: N = (m/M)N_A, где молярная масса кислорода равна M = 32 г/моль и число Авогадро N_A = 6,022∙10²³ моль^-1.

Ответ. Число частиц ΔN = 2,3∙10²³.

Пример 3.2 Какая часть общего числа молекул газа имеет скорости 1) больше наиболее вероятной скорости и 2) меньше наиболее вероятной скорости?

Р ешение. Согласно распределению Максвелла, часть молекул dN/N, скорости которых лежат в интервале от u до u + du

,

где u = υ/ υ_в – отношение скорости молекул к наиболее вероятной скорости υ_в = (2RT/M)^1/2, N – общее число молекул. Часть молекул со скоростями больше наиболее вероятной, можно найти, проинтегрировав это распределение на бесконечном интервале от u₁=1 до u₂=∞ :

,

Чтобы избежать математических трудностей, связанных с нахождением несобственного интеграла, воспользуемся тем очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до ∞. Поэтому, если обозначить через ΔN’ число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т.е. лежат в интервале от 0 до 1, то можно записать

.

Таким образом, вместо того, чтобы искать ΔN , можно сначала найти ΔN’ по формуле

.

Поскольку данный интеграл все же в конечном виде не берется, воспользуемся приближенным методом, но не таким, как в предыдущем примере, где интервал интегрирования был малый. В данном случае разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

Теперь, произведя интегрирование, имеем

.

Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем с погрешностью, не превышающей 0,01, что часть молекул, имеющих скорости меньше наиболее вероятной ΔN’/N = 0,43, а часть молекул, имеющих скорости больше наиболее вероятной, ΔN/N =1- ΔN’/N = 0,57 .

Пример 3.3 Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекулы воздуха принять равным 0,2 нм.

Решение. Воспользуемся формулой для средней длины свободного пробега молекул (3.8)

,

где n – концентрация число молекул, σ = πd² – эффективное поперечное сечение соударения. Концентрацию молекул при н.у. можно найти из основного кинетического уравнения (3.1):

,

где T = 273^oK, p = 10⁵ Па, поэтому получаем

.

Подставляем числовые значения, учитывая, что в единицах СИ эффективный диаметр молекул d = 0,2 нм = 2∙10^-10 м.

Ответ. Средняя длина свободного пробега λ = 2,1∙10^-7м .

Пример 3.4 Радиус шарообразных частиц, находящихся во взвешенном состоянии в воздухе, r = 10^-7 м. Температура воздуха t = 0^oC, давление p = 10⁵ Па. Установлено, что на высоте h = 10 м концентрация частиц уменьшается вдвое. Чему равна масса частицы?

Решение. Обозначим массу частицы m. На частицы, находящиеся во взвешенном состоянии, действует сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда:

,

где ρ₀ – плотность воздуха у поверхности Земли, ρ – плотность частицы. В этом случае распределение концентрации частиц по высоте z согласно закону Больцмана (3.6) запишется в виде

.

Плотность частицы радиусом r равна

.

По условию задачи на высоте z = h = 10 м концентрация n(h)=n(0)/2. Тогда отношение концентраций на двух различных высотах

.

Откуда получаем

,

и находим массу частицы

.

Подставив в последнюю формулу численные значения величин, получим m=5,4 ∙10^-21 кг .

Пример 3.5 Найти коэффициент диффузии и коэффициент внутреннего трения воздуха при давлении p = 760 мм рт.ст. и температуре t = 10^oC. Диаметр молекулы воздуха принять равным d=3∙10^-8 см.

Решение. Воспользуемся формулой для коэффициента диффузии

,

где – средняя скорость, – длина среднего пробега молекул газа, n – концентрация число молекул, – эффективное поперечное сечение соударения. Концентрацию молекул можно найти из уравнения (3.1):

.

Подставив эти выражения в формулу для коэффициента диффузии, получаем:

.

Коэффициент вязкости определяется по формуле:

,

где дополнительно нужно выразить плотность с помощью уравнения Клапейрона-Менделеева:

.

Подставив выписанные выражения для в формулу для коэффициента вязкости, получаем окончательно:

.

Произведем вычисления, подставляя данные задачи в единицах СИ: p= 760мм рт.ст.= 0,76 м∙13,6∙10³кг/м³∙9,8 м/с², T = 283^oK, d = 3∙10^-10 м.

Ответ. D = 1,48∙10^-5 м²/с, η = 1,85∙10^-5 кг/(м∙с).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

26. В поле зрения микроскопа находятся микроорганизмы. Наблюдается ли при этом их броуновское движение?

27. Работа изотермического расширения m = 10 г некоторого газа от объема V₁ до объема V₂ = 2V₁ равна A = 575 Дж. Найти среднеквадратичную скорость газа при этой температуре.

28. В баллоне находится m = 2,5 г кислорода. Найти число молекул кислорода, скорости которых превышают значение средней квадратичной скорости.

29. При какой температуре Т воздуха средние скорости молекул азота и кислорода отличаются на Δυ =30 м/с ?

30. Найти температуру Т, при которой средняя квадратичная скорость молекул азота больше средней скорости на Δυ =50 м/с.

31. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул гелия <ε_пост>=3,92∙10^-21Дж. Определить среднюю скорость молекул гелия при тех же условиях.

32. Около поверхности поля находятся частицы пыли, имеющие массу m=8,5 ∙10^-22 кг и объем V=5∙10^-22 м³. На какой высоте их концентрация уменьшится в 2 раза?

33. Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не зависящими от высоты, определить, на какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха меньше своего значения на уровне моря в 2 раза. Температура воздуха t =0 С.

34. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не зависящим от высоты, вычислить давление в шахте на глубине 2 км. Расчет произвести для Т=293 К. Давление на уровне моря принять равным 1 атм.

35. Во сколько раз количество молекул кислорода в 1 см³ воздуха на вершине горы Эльбрус (5621 м над уровнем моря) меньше, чем среднее значение у поверхности Земли на уровне моря при нормальном атмосферном давлении и температуре Т₀=288К? Указание. Температуру T_h на заданной высоте h в тропосфере можно оценить по уравнению T_h=T₀+ΔT∙h , где ΔT=-6,5К/км – температурный градиент в стандартной атмосфере.

36. Среднеквадратичная скорость движения частиц на высоте 500 км соответствует температуре 1473К . Определите, смогут ли покинуть атмосферу Земли атомы водорода, двигающиеся на этой высоте со среднеквадратичной скоростью? Указание. Атмосферу Земли могут покинуть материальные тела, скорость которых больше второй космической скорости 11,2 км/с.

37. Почему у Луны нет атмосферы?

38. Найти коэффициент теплопроводности воздуха при температуре t = 10^oC и давлении p = 10⁵ Н/см². Диаметр молекулы воздуха принять равным d = 3∙10^-8см.

39. Человек, находясь на улице в сильный мороз, старается больше двигаться, чтобы не замерзнуть. Почему же тогда птицы чаще замерзают на лету?

40. Почему у человека при замерзании появляется «гусиная кожа»?

41. Влияет ли ветер на показания термометра?

42. Теплый воздух поднимается вверх. Почему же в нижней части тропосферы теплее, чем в верхней?

43. Между двумя пластинами, находящимися на расстоянии Δx=1мм друг от друга находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур ΔT = 1^oK. Площадь каждой пластины равна S = 100 см². Какое количество теплоты передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за Δt = 1 мин.? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр молекулы воздуха принять равным d= 3∙10^-8см.

4. Газ Ван-дер-Ваальса. Фазовые переходы. Насыщенные пары.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Уравнение состояния реального газа (уравнение Ван-дер-Ваальса)

, (4.1)

где p – давление, V – объем, ν = m/M – число молей газа, a,b – константы Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов. Константа Ван-дер-Ваальса aν²/V² учитывает дополнительное внутреннее давление, обусловленное силами взаимного притяжения молекул. Константа Ван-дер-Ваальса νb учитывает собственный объем молекул и отталкивающие силы,

, (4.2)

где d – эффективный диаметр частицы газа.

Замечание. Если в задаче не оговаривается специально, каким следует считать газ, реальным или идеальным, то необходимо сделать выбор исходя из заданных физических условий. Как правило, газ можно рассматривать как идеальный при давлениях, близких к нормальному давлению, но как реальный – при высоких давлениях, когда газ сильно уплотнен (сжат).

Внутренняя энергия реального газа

. (4.3)

Переход вещества из газообразного состояния в жидкое называется конденсацией пара. Пар, находящийся в состоянии динамического равновесия с жидкостью, называется насыщенным.

Существует состояние, называемое критическим состоянием с температурой T_k, и давлением p_k , при которых плотность жидкости и насыщенного пара совпадают. Константы a и b связаны с параметрами критического состояния газа следующим образом:

(4.4)

Температура, при которой ненасыщенный водяной пар становится насыщенным, называется точкой росы.

Абсолютной влажностью воздуха называют плотность водяного пара в воздухе при данной температуре.

Относительной влажностью называют отношение плотности водяного пара ρ при данной температуре к плотности ρ_n насыщенного пара при той же температуре:

(4.5)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 4.1 Пользуясь данными о критических величинах T_k и p_k для некоторых газов, найти для них постоянные a и b , входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса.

Вещество	Tk, oK	pk, МПа	a, Па∙м6/моль2	b,10-5 м3/моль
Водяной пар	647	22.0	0.556	3.06
Углекислый газ	304	7.38	0.364	4.26
Кислород	154	5.07	0.136	3.16
Азот	126	3.4	0.136	3.85
Водород	33	1.3	0.0244	2.63

Решение. Запишем уравнение Ван-дер-Ваальса для 1 моля газа

.

Для критической изотермы при температуре T_k, критическая точка является точкой перегиба, следовательно,

.

поэтому можно записать

В этой системе три уравнения и три неизвестные величины: V, a, b. Из второго уравнения системы выразим a = V³RT_k/(V-b)²/2 , подставим в третье уравнение и найдем b = V/3. Подставим теперь выражения для a и b в первое уравнение системы и получим

а затем, возвращаясь к выражениям для a и b, находим

.

Взяв из таблицы значения критического давления и критической температуры, например, для водяного пара, получим ответ.

Ответ. a = 0,556 Па∙м⁶/моль², b = 3,06∙10^-5 м³/моль.

Пример 4.2 Какую температуру имеет кислород массой m = 3,5 г, занимающий объем V = 90 см³ при давлении p = 2,8 МПа ? Газ рассматривать а) как идеальный, б) как реальный.

Решение. Из уравнения Клапейрона-Менделеева для идеального газа находим

.

Из уравнения Ван-дер-Ваальса (4.1) находим

.

Вычислим температуры, принимая во внимание, что число молей кислорода m/M = 3,5/32, объем в единицах СИ V = 90 см³=9∙10^-5 м³, и константы Ван-дер-Ваальса (см. таблицу): a = 0,136 Па∙м⁶/моль², b = 3,16∙10^-5 м³/моль.

Ответ. T_id = 277,26^oK; T_re = 285,7^oK.

Пример 4.3 Найти среднюю длину свободного пробега λ молекул углекислого газа при нормальных условиях. Эффективный диаметр d молекул вычислить, считая известными для углекислого газа критические значения T_k и p_k.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул по формуле (3.8):

,

где концентрацию молекул при н.у. можно определить по формуле n=p₀/(kT₀), а эффективный диаметр d можно определить из выражения (4.2) для константы Ван-дер-Ваальса

.

При решении примера 4.1 мы также получили формулу для константы

.

Вычисляя и последовательно подставляя эти выражения в формулу для длины свободного пробега молекул, окончательно находим:

Ответ. λ = 7.9∙10^-8 м.

Пример 4.4 Один моль кислорода, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, изотермически расширяется от объема V₁ до объема V₂. Определить совершенную газом работу и количество теплоты, сообщенное газу.

Решение. Работа при изотермическом процессе определяется равенством

.

Количество теплоты, переданное газу, определяется по первому началу термодинамики Q=ΔU+A . Изменение внутренней энергии при постоянной температуре для идеального газа равно нулю, но для газа Ван-дер-Ваальса, согласно формуле (4.5) равно

,

следовательно,

.

Пример 4.5 Какая масса водяного пара содержится в объеме воздуха V= 1 м³ в летний день при температуре t = 30^oC и относительной влажности φ=75%. Давление насыщенного пара при данной температуре p_n = 4,23 кПа.

Решение. Относительная влажность дает отношение плотности водяного пара ρ при данной температуре к плотности ρ_n насыщенного пара при той же температуре:

Плотность пара при атмосферном давлении и плотность насыщенного пара при давлении насыщения и данной температуре можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева (1.1):

.

Масса пара в объеме воздуха V = 1м³ будет равна

.

Подставляем значения, учитывая, что молярная масса воздуха M=18∙10^-3 г/моль.

Ответ. Масса водяного пара m = 22,7 г.

Пример 4.6 В замкнутом объеме V = 1 м³ относительная влажность воздуха φ=60% при температуре t = 30^oC. Какая масса воды должна испариться в этот объем, чтобы водяной пар стал насыщенным? Давление насыщенного пара при данной температуре p_n = 2,33 кПа.

Решение. Как и в предыдущем примере, найдем массу пара, содержащуюся в данном объеме:

.

В результате испарения воды эта масса увеличивается на величину Δm, при этом давление пара также увеличивается и достигает насыщенного значения, p_n. Для этого состояния по закону Клапейрона-Менделеева имеем:

.

Подставим сюда предыдущее выражение для первоначальной массы и выразим дополнительную массу:

.

Вычислим это значение, учитывая, что молярная масса воздуха M=18∙10^-3 г/моль, и относительная влажность φ = 60% = 0,6.

Ответ. Масса испарившейся воды Δm = 6,9 г.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

44. Количество углекислого газа ν = 1 кмоль находится при температуре t = 100^oC. Объем газа V = 1м³. Найти давление газа, считая его а) идеальным, и б) реальным.

45. В закрытом сосуде объемом объем V = 0,5 м³ находится количество ν=0,6 кмоль углекислого газа при давлении p = 3 МПа. Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса найти, во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы давление увеличилось вдвое.

46. 1 кмоль кислорода находится при температуре t = 27^oC и давлении p=10⁷Па. Найти объем газа, считая его а) идеальным, и б) реальным.

47. Определить массу кислорода в баллоне объемом 10 л при температуре 27^oC и давлениях а) 1 ат; б) 410 ат.

48. Вычислить энергию, необходимую для нагревания кислорода от 300 К до 400 К при постоянном объеме, равном 10^-3 м³. Начальное давление равно 10⁷ Па. Расчет произвести для идеального газа и газа Ван-дер-Ваальса.

49. Найти эффективный диаметр d молекулы азота двумя способами: а) по данному значению длины среднего пробега молекул при нормальных условиях λ = 95 нм; б) по известному значению постоянной b в уравнении Ван-дер-Ваальса.

50. Найти плотность ρ_n насыщенного водяного пара при температуре t=50^oC. Давление насыщенного пара при данной температуре p_n = 12,3 кПа.

51. Водяной пар массой m = 0,5 г занимает объем V₁ = 10 л при температуре t= 50^oC. Какова при этом относительная влажность? Какая масса пара сконденсируется, если изотермически уменьшить объем от V₁ до V₂=V₁/2. Давление насыщенного пара при данной температуре p_n = 12,3 кПа.

52. Относительная влажность воздуха в комнате 63%, а температура 18^оС. На сколько градусов должна понизиться температура воздуха на улице, чтобы оконные стекла в комнате запотели?

53. Минутный дыхательный объем человека равен 8000 см³. Определить массу насыщенного водяного пара при температуре 30^оС, выдыхаемого человеком в течение суток.

54. Почему в летнюю жару температура поверхностных слоев воды в открытых водоемах всегда бывает ниже, чем температура окружающей среды?

55. Почему вода в водоемах начинает замерзать с поверхности?

56. Почему стекла окон покрываются в зимнее время ледяными узорами? С какой стороны стекла они образуются?