6. Цветовая физиологическая система (кзс)физ

Цветовая система КЗС в нашей стране называется физиологической по предложению С.О. Майзеля. Функции сложения в ней совпадают со спектральными чувствительностями К, З, С колбочек. В середине 20 века группа исследователей ВНИИМ имени Д.И. Менделеева под руководством Н.Д. Нюберга и Е.Н. Юстовой провели экспериментальные и расчетные работы, которые позволили определить спектральные чувствительности и основные цвета системы (КЗС)_физ. Они воспользовались идеей Д. Максвелла, который еще в 1860 г. предположил, что полюс пучка прямых, определяющих геометрические места точек цветностей, неразличимых дихроматами [3], совпадает с одной из вершин координатного треугольника основных цветов колориметрической системы. При этом предполагалось, что причиной дихроматизма является полное отсутствие одного из цветоразличающих аппаратов (К или З или С колбочек), а у двух других, нормально работающих рецепторов, спектральные чувствительности точно такие же, как у людей с нормальным цветовым зрением. Многие известные специалисты взяли за основу исследований этот подход, но наиболее тщательные и достоверные, на наш взгляд, результаты получены Юстовой. Она организовала эксперименты таким образом, что дихроматы устанавливали колориметрические равенства при переменной доли участия цвета, не воспринимаемого этими людьми.

Результаты этих экспериментов, а также расчетов и предположений Нюберга представлены на рис. 6.1. На этом же рисунке помещены результаты спектрофотометрических измерений коэффициента поглощения пигментов отдельных колбочек приматов и человека, выполненных П. Брауном и Г. Уолдом; а также результаты прямых измерений спектральной чувствительности колбочек глаза наблюдателя при искусственной дихромазии, которые провел тот же Уолд. Кривые, полученные разными методами и авторами, достаточно хорошо для таких сложных исследований, согласуются между собой.

S_отн(λ)

λ,

Рис. 6.1. Относительные спектральные чувствительности цветовоспринимающих рецепторов (колбочек) S_отн() по данным разных авторов

1 — теоретические кривые по Нюбергу и Юстовой, 2 — по данным Уолда, 3 — по данным Брауна и Уолда

Формулы расчета координат цвета и цветности, модуля цвета были приведены уже в разделах 2 и 3. После упоминания результатов исследований Нюберга—Юстовой нам остается привести яркостные коэффициенты, которые необходимы для расчета яркости (светового потока) в цветовой системе (КЗС)_физ:

. (6.1)

L = 683 (0,5894 К + 0,4043 З + 0,0063 С). (6.2)

Переход от функций сложения в системе XYZ к функциям сложения в системе (КЗС)_физ можно осуществить аналогично (5.10):

. (6.3)

7. Математическое моделирование порогового цветового зрения

Современная цветовая система (КЗС)_с, базирующаяся на кривых спектральной чувствительности трех типов колбочек, позволяет интегрально оценивать реакцию человеческого глаза на предъявляемые цветные изображения, однако она не объясняет причин возникновения порогов цветоразличения. Для объяснения данного явления необходимо, кроме использования известного из физиологии зрения факта существования трех типов приемников (К, З, С), сделать дополнительные предположения о характере переработки информации в высших отделах головного мозга. К сожалению, физиологи в настоящее время не могут дать точного ответа об алгоритме процессов обнаружения и опознавания объектов зрительной системой человека. Это вынуждает выдвигать различные гипотезы о характере такого процесса, что порождает массу математических моделей зрительной системы, основанных на информационном, статистическом, эмпирическом и других подходах.

Наиболее значительные результаты для объяснения пороговых характеристик зрительной системы человека получены при использовании статистического подхода. Основная гипотеза, на которой базируется математическая модель, заключается в том, что в процессе эволюции и естественного отбора выжили те представители человеческой расы, которые решали задачи обнаружения лучше других. Иными словами — особей с менее совершенным зрением либо съедали в первую очередь, либо они сами умирали с голоду. Таким образом, они не могли давать потомство и постепенно вымирали. В математической статистике при решении задачи выделения сигналов на фоне случайных помех, был получен алгоритм, лучше которого никой другой алгоритм не может решить эту задачу. Это алгоритм получил название алгоритма «оптимального приемника».

Естественно предположить, что в процессе эволюции характеристики зрительной системы человека достаточно близко приблизились к характеристикам оптимального приемника. Для математического описания этого алгоритма мы будем использовать функцию отношения правдоподобия. При этом мы вовсе не предполагаем, что где-то в мозгу человека происходит вычисление именно этой функции. Мы только считаем, что, за счет неизвестных пока нервных связей, мозг человека реализует алгоритм, близкий к алгоритму оптимального приемника. Функция отношения правдоподобия — это только удобный способ математического описания этого алгоритма.

Структурная схема математической модели зрительной системы, фиксирующей отличие исследуемого объекта S от эталонного S_эт, представлена на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Структурная схема модели зрительной системы человека

ОС — оптическая система, ПИ — мозаика приемников излучения, СА — система анализа, ПУ — пороговое устройство

Излучение предметов собирается оптической системой глаза (ОС) на мозаику приемников излучения (ПИ), которые в математической модели эквивалентны светочувствительным элементам сетчатки — К, З и С колбочкам.

Случайные сигналы отдельных приемников излучения (_i), образующие случайную реализацию Y, передаются в мозг, который в математической модели представлен системой анализа (СА), памятью и пороговым устройством принятия решения.

При этом под независимыми приемниками излучения понимаются либо отдельные приемники, либо группы приемников, подключенные через промежуточные нейроны к одному волокну зрительного нерва. Совокупность случайных сигналов мозаики приемников (_i) поступает в систему анализа (СА), содержащее в памяти априорную информацию об объекте S и эталонном объекте (S_эт). СА вычисляет одномерную функцию отношения правдоподобия Λ, которая равна отношению вероятности возникновения в опыте по опознаванию случайной реализации Y (совокупности сигналов _i) при условии наличия в поле зрения человека объекта (P[Y/S]), к вероятности возникновения той же реализации Y при условии наличия в поле зрения человека эталона (P[Y/S_эт]).

, (7.1)

где p, q — априорные вероятности наличия и отсутствия объекта, p + q = 1.

По сути, отношение правдоподобия на вероятностном языке показывает, на что больше похож видимый человеком образ (случайное распределение _i) — на изображение с объектом, или на изображение с эталоном, поэтому при анализе двух изображений задачи обнаружения их отличий и опознавания объектов совпадают.

Согласно алгоритму оптимального приемника, решение о наличии объекта в поле зрения должно приниматься в соответствии с решающим правилом:

Λ Λ_п . (7.2)

Из теории статистических решений известно [5], что работа по решающему правилу (7.2) позволяет реализовать любой критерий (алгоритм) принятия решения. При этом различные критерии характеризуются лишь различными численными значениями Λ_п. При разработке математической модели зрительной системы важным является не конкретное выражение для Λ_п через параметры алгоритма обработки сигналов (поскольку этот алгоритм для человека в настоящее время не известен), а тот факт, что, каким бы ни был этот алгоритм, в модели зрительной системы он будет характеризоваться конкретным численным значением Λ_п. Таким образом, если взять в качестве рабочей гипотезу о постоянстве критерия принятия человеком решения для определенного круга задач (обнаружение или опознавание), то, определив значение Λ_п один раз для простейших экспериментальных ситуаций, можно использовать модель зрительной системы с этим численным значением Λ_п для всего круга задач (всех типов и цветов объектов, фонов, уровней яркости и т.д.), где оно остается постоянным.

Для _i (случайного числа импульсов тока действия в волокнах зрительного нерва), подчиняющихся закону распределения Пуассона, при независимых приемниках излучения несложно получить:

, (7.3)

или

(7.4)

где х_oi — математическое ожидание сигналов приемника с номером i, при условии присутствия в поле зрения наблюдателя объекта, x_этi — математическое ожидание сигналов приемника с номером i, при условии присутствия в поле зрения наблюдателя эталона, N — число приемников излучения в мозаике приемников.

При этом закон распределения lnΛ определяется функцией плотности вероятности нормального закона распределения:

(7.5)

где m_Λ и σ_Λ — математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение ln(Λ), которые для независимых приемников излучения определяются выражениями [6]:

(7.6)

. (7.7)

Поскольку случайные сигналы _i представляют из себя совокупность сигналов трех типов приемников — К, З и С, то, обозначив случайные сигналы этих рецепторов через μ_кi, μ_зi, μ_сi, из (7.3) для ln(Λ) получим выражение:

, (7.8)

где х_oкi, х_oзi, х_oсi, х_эткi, х_этзi, х_этсi — аналогично (7.3), условные математические ожидания μ_кi, μ_зi, μ_сi. После логарифмирования (7.8), получаем:

, (7.9)

где

,

, (7.10)

,

n — число триад К, З, С рецепторов.

Из (7.9) и (7.10), для математического ожидания ln(Λ) можно получить следующее выражение:

, (7.11)

где

(7.12)

С учетом монотонности функции натурального логарифма, правило принятия решения (7.2) эквивалентно правилу ln(Λ) ≥ ln(Λ_п). С учетом (7.5) для вероятности обнаружения отличия объекта от эталона несложно получить выражение:

, (7.13)

или

,

, (7.14)

где — интеграл вероятности.

В пороговых условиях (Р_об = 0,5) аргумент интеграла вероятности равен нулю, поэтому для этой вероятности обнаружения выполняется соотношение:

. (7.15)

Поскольку в области дневного зрения рецепторы сетчатки нелинейны [2], для расчета m_Λ необходимо установить взаимосвязь реакций приемников излучения с наблюдаемой яркостью объектов.

Введем понятие распределения контраста сигналов на выходах приемников излучения:

, (7.16)

где x_оi — среднее значение (математическое ожидание) реакции любого из трех типов приемников (К, З или С) модели ОЗ, при условии наличия в поле зрения наблюдателя объекта, а x_этi средняя реакция того же приемника, при условии наличия в поле зрения наблюдателя эталона.

Запишем выражение (7.16) для одного из приемников излучения К, З или С. Обозначив контраст на выходе нелинейных приемников как , а m_Λ — одно из значений m_Λк, m_Λз или m_Λс, из (7.5), с учетом (7.16), получаем:

. (7.17)

Запишем полученное выражение, для равнояркого объекта и в случае, когда в качестве эталона выступает равнояркий фон. В этом случае , при визировании приемниками области внутри контура объекта, и при визировании области вне контура объекта, так как реакции всех таких приемников совпадают независимо от того, какое изображение находится в поле зрения наблюдателя (эти приемники всегда визируют фон).

Тогда:

, (7.18)

где — суммарная реакция всех приемников, визирующих область в пределах контура объекта, а n — число приемников, визирующих эту область.

Согласно экспериментальным данным [2], в области дневных яркостей, при визировании объектов с угловым размером от 2–10°, пороговый контраст много меньше единицы, поэтому разложим функцию ln (1 + K^п) в ряд Тейлора, ограничившись двумя членами разложения. В этом случае, для порогового контраста K^п < 0,1, погрешность разложения в ряд не будет превышать 0,3 %, тогда :

, (7.19)

или

. (7.20)

Запишем выражение, связывающее контраст на выходе нелинейных приемников (7.16) с фотометрическим контрастом. На рис. 7.2 представлена качественная зависимость математического ожидания (X) реакции рецепторов ОЗ от визируемой яркости (L).

Из рис. 7.2 следует, что:

. (7.21)

Введя яркостной контраст , получим:

X

X +

X

L +

L

L

Рис. 7.2. Нелинейная зависимость реакции приемника излучения от визируемой яркости

. (7.22)

Для большинства задач, где важно цветовое зрение, наблюдение ведется в области яркостей характерных для дневного зрения. При таких яркостях имеется область Вебера—Фехнера [2], в которой яркостной пороговый контраст K не зависит от яркости фона, а следовательно аргумент интеграла вероятности (7.14) также не должен зависеть от этой яркости, то есть:

, (7.23)

В этом случае выражение (7.23) преобразуется к виду:

. (7.24)

В пороговых условиях вероятность обнаружения объекта равна 0,5. Для этих условий аргумент интеграла вероятности равен нулю, т.е. , откуда получаем:

. (7.25)

Поскольку не равно нулю, то:

. (7.26)

Подставляя выражение для контраста на выходе нелинейного приемника (7.22) в выражение для математического ожидания (7.20) и преобразуя его, получаем из (7.26) выражение:

. (7.27)

Поскольку в области Вебера—Фехнера контраст K не зависит от яркости L и не равен нулю, то:

. (7.28)

Из (7.28) следует дифференциальное уравнение для зависимости чувствительности рецептора от яркости:

. (7.29)

Решая данное дифференциальное уравнение, получаем:

, (7.30)

где C₁, С₂, С₃ — постоянные интегрирования.

Полученные выражения позволяют получить расчетные соотношения для порогового обнаружения монохроматического объекта на аддитивном белом фоне, либо решить обратную задачу — по результатам эксперимента по пороговому обнаружению монохроматического объекта на белом фоне рассчитать удельные координаты цвета системы (КЗС)_с. Из выражения (7.30) можно получить:

. (7.31)

Подставляя полученное выражение в (7.20), с учетом (7.22), получим:

, (7.32)

где L — световая яркость монохроматического источника, добавляемая к световой яркости эталона L при визировании его К, З или С рецепторами.

В качестве эталонного источника излучения будем использовать источник белого света, поэтому обозначим L, как L_б.

Поскольку число приемников n, визирующих область в пределах контура объекта прямо пропорционально угловой площади объекта Ω и обратно пропорционально телесному углу поля зрения одного приемника ω, то число приемников, визирующих эту область определиться следующим соотношением:

. (7.33)

При условии одинакового вида нелинейности для всех ПИ (что соответствует широкой области яркостей, в которой цветность излучения не зависит от яркости) выражение для математического ожидания ln(Λ) принимает вид:

, (7.34)

где L_к, L_з, L_с — составляющая световой яркости монохроматического источника при визировании его К, З и С рецепторами;

L_кб, L_зб, L_сб — составляющие световой яркости белого источника при визировании его К, З или С рецепторами;

С_4к, С_4з, С_4с — постоянные интегрирования.

Из колориметрии следует [2], что световая яркость монохроматического излучения определяется выражением:

, (7.35)

где L_к(), L_з(), L_с() — К, З и С составляющие в световой яркости монохроматического излучения.

При этом, для составляющих световой яркости монохроматического источника L_к(), L_з(), L_с() можно записать:

, (7.36)

, (7.37)

, (7.38)

где — функции сложения или удельные координаты цвета в цветовой системе (КЗС)_с, L_e() — энергетическая яркость изображения, к(), з(), с() — функции спектральной чувствительности КЗС рецепторов ОЗ.

Составляющие яркости белого источника для приемников К, З и С определяются следующими выражениями:

, (7.39)

, (7.40)

. (7.41)

Тогда для пороговых условий, используя выражение (7.15), можно записать:

, (7.42)

где L_еп() — пороговое значение энергетической яркости монохроматического источника излучения.

Поскольку все составляющие правой части уравнения (7.42) не изменяются при проведении эксперимента, то обозначим:

. (7.43)

Решая данное уравнение относительно L_еп(), получаем выражение для расчета пороговой энергетической яркости монохроматического источника излучения:

L_еп() =

(7.44)

При известных значениях к(), з(), с() можно рассчитать пороговое значение L_еп().

Следует отметить, что абсолютные значения к(), з(), с() и яркостные коэффициенты не влияют на L_еп(), так как и аналогичные составляющие выражения (7.44), куда входят з() и с() от этих параметров не зависят (в отношении они сокращаются).

Таким образом, выражение (7.44) является решением прямой задачи, а для нахождения к(), з(), с() по экспериментально определенным значениям L^э_еп() необходимо решить обратную задачу. Для этого необходимо решить систему m нелинейных уравнений. Поскольку , то при ее решении можно определить только относительные значения к(), з(), с(). Абсолютные значения можно определить из следующих соображений.

Поскольку в разделе 2 показано, что:

, (7.45)

то, используя для спектральной облученности источника типа «Е» обозначение E₀, получим:

. (7.46)

Из условия попадания координат цветности источника «Е» в центр координатного треугольника значения каждого из трех интегралов от функций должны быть одинаковыми. Если обозначить значение любого из интегралов через S_кзс, получим соотношение:

. (7.47)

Многовариантные расчеты по (7.45) для разных диапазонов длин волн показали, что он имеет следующие усредненные значения яркостных коэффициентов _к = 0,5894, _з = 0,4043, _с = 0,0063. Это позволяет нам определить абсолютные значения всех функций из соотношений:

(7.48)

Относительное распределение дает решение системы нелинейных уравнений (7.47):

, (7.49)

где .

Решить данную систему уравнений напрямую невозможно, т.к. в ней число неизвестных всегда в три раза больше числа уравнений. Решение было найдено при представлении в виде суммы квадратичных экспонент с неизвестными коэффициентами. Например, для оно имело вид:

, (7.50)

где а_i, b_i, λ_i — искомые коэффициенты аппроксимации.

Значения L^э_eп(λ) были получены на кафедре светотехники НИУ МЭИ в результате исследования четырех предварительно тренированных наблюдателей с нормальным зрением в возрасте 20—25 лет. В качестве эталонного объекта выступал равнояркий фон с L_v = = 80 кд/м², создаваемый тепловым источником с цветовой температурой 2856 К. Объектом являлся диск с угловым размером 120, монохроматическое излучение которого аддитивно добавлялось к излучению эталона.

На рис. 7.3 представлены усредненные по четырем наблюдателям полученные пороговые зависимости, а на рис. 7.4 — результаты численного решения системы уравнений (7.47).

λ, нм

Рис. 7.3. Зависимость величины для объекта в виде диска от длины волны монохроматического излучения диска

λ, нм

Рис. 7.4. Функции сложения новой системы (КЗС)_с (сплошные кривые) и полученные по экспериментальным результатам Юстовой Е.Н. [2] (пунктирные кривые)

Для формирования цветовой системы необходимо определить координаты основных цветов новой системы (КЗС)_с.

Из результатов И. Гилда и В. Райта [2] следует, что при длинах волн монохроматических излучений больших или равных 700 нм для установления цветового равенства используется только основной цвет R ( = 700 нм), поэтому координаты цветности этих излучений совпадают с координатами цветности основного цвета R — (1,0,0). Для физиологической системы это означает, что излучение с длинами волн 700 нм и больше возбуждает только один тип колбочек — К, так как для установления цветового равенства не нужно возбуждение ни зеленых З рецепторов излучением G ( = 546,1 нм), ни синих С рецепторов излучением B ( = 435,8 нм). Из этого следует, что излучения с длинами волн 700 нм и больше имеют в системе (КЗС)_с координаты цветности (1,0,0). Поскольку координаты цветности этих излучений в системе XYZ известны (это координаты цветности основного цвета R), то можно утверждать, что координаты цветности основного цвета К в системе XYZ равны (0,7347; 0,2653; 0,0). Расчеты с помощью полученных из эксперимента удельных координат цвета новой системы (КЗС)_с подтверждают это предположение и позволяют рассчитать координаты цвета всех основных цветов:

x_К = 0,7347, y_К = 0,2653; x_З = –3,6,

y_З = 4,6; x_С = 0,1668, y_С = 0,0016, (7.51)

Решение обратной задачи нахождения яркостных коэффициентов новой системы (КЗС)_с проводилось путем решения уравнения (7.44) методом «наименьших квадратов». При этом были получены следующие значения яркостных коэффициентов:

_К = 0,4435, _З = 0,5547, _С = 0,0018. (7.52)

Полученные с помощью математической модели порогового зрения результаты отличаются от общепринятых. Причины этих отличий известны:

1. Зрение наблюдателей, для которых И. Гилд и В. Райт определили функции сложения системы RGB, отличается от зрения исследованных в МЭИ наблюдателей.

2. Координаты основных цветов, с помощью которых рассчитывались удельные координаты цвета (КЗС)_физ, определялись Е.Н. Юстовой по результатам исследования зрения цветоаномалов, спектральная чувствительность которых (особенно в красной области спектра) существенно отличаться от спектральной чувствительности людей с нормальным зрением.

В любом случае предлагаемая математическая модель порогового цветового зрения и новая цветовая система (КЗС)_с требуют дальнейшего уточнения и развития.

RGB, XYZ, (КЗС)_физ — это все колориметрические (математические) системы. Но порой важно не только уметь идентифицировать или рассчитывать цвет, но и оценивать восприятие цветов человеком. Для этого были разработаны равноконтрастные системы, в которых расстояние между двумя точками линейно связано с числом цветовых порогов восприятия.

В качестве примера, приведем равноконтрастную диаграмму цветности Д. Мак Адама uv [2, 3]:

, (7.53)

где u, v — координаты цветности в равноконтрастной системе L^*u^*v^*.

По этой равноконтрастной диаграмме цветности можно оценить, заметит ли человек изменение цвета или насколько сильно, с точки зрения человека, цвета отличаются друг от друга. Она также позволяет рассчитать цветопередачу источников света или устройств воспроизведения цветных изображений.