3.4. Внешняя модель функционирования артиллерийского комплекса.

Для построения внешних моделей функционирования артиллерийских систем, кроме результатов теории стрельбы, используются математические методы описания процессов, характеризующих динамику боевых действий. Поток выстрелов. При исследовании динамики боевых действий последовательность выстрелов, осуществляемых каждой единицей, участвующей в бою, удобно представлять как поток случайных событий.

Математическое описание потока выстрелов определяет математический аппарат для описания процессов боевых действий. При этом наиболее эффективным оказывается применение теории марковских процессов.

Краткие сведения из прикладной теории марковских случайных процессов с непрерывным временем и дискретными состояниями. Любой случайный процесс может быть представлены как марковский. Представление процесса функционирования всех средств системы в виде марковского процесса с конечным числом состояний и непрерывным временем дает возможность привлекать для исследования эффективности систем хорошо разработанный аппарат обыкновенных диффе­ренциальных уравнений.

Рассмотрим процесс (систему) Y(t), который в любой мо­мент времени может находиться в одном из своих состояний:

Это дискретный случайный процесс, причем, если то это процесс конечный (счетный).

Пусть событие заключается в том, что а вероятность этого событии

Тогда в любой момент времени t выполняется условие нормирования — первое свойство марковского процесса.

Одна из основных задач исследования состоит обычно в отыскании вероятностей В качестве допущения обычно считается, что переход из состояния в состояние происходит скачком (мгновенно). Тогда рассматриваемый процесс может быть представлен как блуждание некоторой точки по своим возможным состояниям.

Характеристикой процесса является также — условная вероятность того, что в момент система будет в состоянии , если в момент она была в состоянии

Дискретный случайный процесс называется марковским, если вероятность зависит только от указанных в обозначении вероятности параметров: в каком состоянии была система в момент времени и в какое состояние система должна попасть в момент и не зависит от того, в каких состояниях процесс находился до момента .

Второе свойство марковского процесса:

Марковским случайным процессом с непрерывным време­нем называется процесс, у которого переход из одного состоя­ния в другое, соседнее состояние , возможен в любой мо­мент времени t. Марковские процессы с непрерывным временем тесно связаны с Пуассоновскими потоками. Можно до­казать утверждение: если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс, протекающий в системе, будет марковским с непрерывным временем (пуассоновский процесс:

где—интенсивность потока.

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из двух состояний и , которая может переходить только из в под воздействием пуассоновского потока событий с интенсивностью Граф такой системы представлен на рис. 3.10. Для рассматриваемого случая имеет место дифференциальное уравнение для вероятности нахождения системы в состоянии (или вероятности невыхода из системы Y₀):

где --вероятность невыхода

и з состояния за время ;

Переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение для P(t):

В случае пуассоновских потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние , исчерпывающей характеристикой марковского случайного процесса, имеющего (n+1) состояний , является квадратная матрица интенсивностей пуассоновских потоков при

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

Решение этой системы дифференциальных уравнений — решение задачи Коши, которое в данных условиях существует. Решение такой системы уравнений легко реализуется на ЭВМ.

Рассмотрим частный случай: простейший марковский процесс, у которого матрица интенсивностей простейшая, т.е. все элементы матрицы--постоянные величины ( ). Это означает, что все потоки, переводящие систему из состояния в состояние —простейшие (т.е. обладают свойством однородности и ординарности).

При исследовании таких систем дифференциальных уравнений применяется операторный метод решения дифференциальных уравнений для отыскания вероятностей состояний .Используется преобразование по Карсону—Хэвисайду, изображение которого имеет вид

В этом случае система дифференциальных уравнений пре­вратится в систему алгебраических уравнений для изображе­ний

Определив неизвестные по формулам обращения находятся искомые

При стационарном режиме, когда вёроятности отыскиваются из системы линейных однородных алгебраических уравнений:

откуда

Характеристики случайных процессов гибели и размножения Это дискретные марковские случайные процессы, множество состоянии которого ( ) ставится в однозначное соответствие с рядом целых неотрицательных чисел и для любого состояния этого процесса (кроме граничных и ) соседними могут быть только те, индексы которых отличаются на величину ±1 (рис. 3.11). На рисунке:

Рис. 3.11. Граф состояний процесса гибели и размножения

--скачкообразная случайная функция, интенсивности перехода (соответственно размножения и гибели).

Существуют: процесс чистого размножения и процесс чистого гибели

Определим математическое ожидание и дисперсию числа единиц вооружения в строю в момент t.

Пусть --процесс накопления техники одного вида,

где интенсивность производства вооружения, интенсивность выхода из строя одной единицы техники, — число единиц вооружения в строю в момент t.

Система дифференциальных уравнений для вероятностей

состояний:

где

Умножим второе уравнение на k и просуммируем по всем k:

где

При

При

При

Если уравнение умножить на k² и просуммировать, то получим

Можно убедиться, что

.

Полученные выражения говорят о пуассоновском законе распределения (для распределения Пуассона .

Рассмотренный теоретический аппарат используется для описания боевых действий и построения моделей боя.

Плотность потока выстрелов (рис. 3.12). На рисунке обозначено —поток выстрелов, характеризующийся интенсивностью * *— поток успешных выстрелов с интенсивностью . Очевидно, что где — вероятность поражения цели одним выстрелом.

Простейшая модель боя. Имеются две противодействующие группировки. Каждая состоит из однородных между собой боевых единиц. Первая группировка из , единиц, вторая из единиц.

Пусть любая боевая единица, пока она не поражена, производит случайный пуассоновский поток выстрелов с некоторой средней скорострельностью; любая боевая единица первой

Рис. 3.12. Поток выстрелов

группировки может стрелять по любой из второй и, наоборот, одним выстрелом нельзя поразить больше одной цели; если цель поражена мгновенно, огонь переносится на другую цель.

Используются обозначения: — среднее число боевых единиц первой группировки, сохранившихся непораженными к моменту t; — среднее число боевых единиц второй группировки, сохранившихся непораженными к моменту t; -- средняя скорострельность (число выстрелов в единицу времени) для одной боевой единицы первой стороны; — средняя скорострельность для одной боевой единицы второй стороны;

—вероятность, с которой поражает цель один выстрел орудия первой стороны; — вероятность, с которой поражает цель один выстрел орудия второй стороны,

Тогда — пуассоновские потоки успешных выстрелов. За малый промежуток времени наблюдаются изменения:

-среднего числа боевых единиц первой группировки;

среднего числа боевых единиц второй группировки

Через предельный переход получаются уравнения динамики боя:

---уравнения Ланчестера 2-го рода.

при t=0:

Решение системы при

Рассмотренная модель динамики средних, оперирующая математическими ожиданиями числа участвующих в бою единиц, построена для простейшего случая: противоборствующие группировки состоят из определенного количества однотипных единиц, характеризуемых скорострельностями и вероятностями поражения единицы противника. Такая модель обладает достаточной точностью при сравнительно большом числе единиц (>10).

При новых обозначениях система уравнений имеет вид

при t=0,

Здесь — характеристики интенсивности воздействия.

Тогда

Решение системы уравнений при этом запишется как

При обозначении решение получает вид

При (силы сторон равны)

— характеризует преимущество первой стороны над второй.

Если >1, то победит первая группировка, если <1, победит вторая группировка.

При обозначении время окончания боя

Количество сохранившихся единиц более сильной стороны

Условие победы >

Несмотря на кажущуюся простоту, эта модель дает возможность учесть влияние многих факторов. В частности, если | рассматривается противотанковая артиллерия и танки, то можно учесть влияние скорострельности, точности и кучности стрельбы (через ), размеры и степень защищенности противотанковых комплексов (через

Суммарные затраты на поражение группировки танкой в этом случае

где — стоимость орудия; — стоимость выстрела.

Пример. Подразделение из восьми противотанковых пушек, любая из которых обладает скорострельностью в/мин и вероятностью поражения танка = 0,8, противостоит группировке в десять танков, каждый из которых обладает практической скорострельностью в/мин и = 0,4. Определить исход боя и суммарные затраты противотанковой группировки, если стоимость орудия 1000 усл. ед., стоимость выстрела 10 усл. ед.

Решение. = 10 * 0,8 * 8² = 512, = 4 *4* 10²== 160 >

> , таким образом, противотанковая группировка выигрывает бой.

орудий — число сохранившихся противотанковых пушек.

усл. ед.

Если бы противодействие противника не учитывалось, то усл. ед. всего. Модель может усложняться за счет учета влияния маневренности, разведки и т. п.

При более полном описании боевых действий необходимо рассмотреть по возможности все физические состояния, позволяющие учесть все основные факторы, влияющие на эффективность функционирования системы.

Для разработки модели системы, описываемой уравнением для марковского процесса с непрерывным временем и дискретным числом состояний, необходимо определить основные типы средств, входящих в систему; основные физические состояния; значения интенсивностей; начальные условия для интегрирования, а также составить систему дифференциальных уравнений, описывающую вероятности состояний системы в процессе функционирования.

В качестве примера модели, учитывающей маневренность арткомплекса, рассматривается система, изображенная на рис. 3.13.

Состояния данной системы:

— выдвижение артсистемы из выжидательного района (BP) или перемещение па новую огневую позицию (ОП);

— перевод артсистемы из походного положения в боевое (развертывание);

— выполнение огневой задачи;

— перевод из боевого положения в походное (свертывание) ;

— перемещение с заданной ОП на другую (или в ВР);

— переход в состояние Поражения;

— интенсивности перехода из состояния в состояние ( так как цель точечная).

Каждое состояние артсистемы характеризуется своей ве­роятностью Вероятности определяются системой уравнений Колмогорова:

где

Начальные условия:

Решение системы может быть получено аналитически (в виде суперпозиции экспонент, например:

Среднее время пребывания артсистемы и i-м состоянии при наличии противодействия противника может быть определено как

Анализируя результаты решения (например, значения ), можно определить направления улучшения характеристик артсистемы. Одним из резервов повышения непоражаемости является конструктивное усовершенствование артсистемы в направлении уменьшения временных характеристик (например, уменьшение времени за счет механизации и автоматизации процессов подготовки и выполнения огневых задач).

В качестве примера модели, учитывающей влияние разведки на функционирование основных средств системы, рассматривается марковский процесс двусторонних боевых действий группировок, каждая из которых состоит из однородных боевых средств (подвижных). — общее число средств первой стороны, — общее число средств второй стороны.

Состояния, в которых могут находиться боевые средства в ходе боевых действий: —боевое средство не разведано и ведет огонь по разведанным боевым средствам противника со скорострельностью —боевое средство разведано, ведет огонь по разведанному боевому средству противника, не поражено. Противник ведет по нему огонь. За счет подвижности боевое средство может перейти в неразведанное состояние; — боевое средство поражено.

На рис. 3.14 графически показаны состояния системы.

— соответствующие вероятности состояний и интенсивности перехода.

Система уравнений, описывающая процесс боевых действий сторон в динамике, имеет вид

Начальные условия:

где вероятности состояний системы боевых средств, разведанных к началу боевых действий.

Интенсивности перехода и , входящие в уравнения, определяются следующим образом.

Интенсивность обнаружения боевых средств, находящихся в неразведанном состоянии, Пусть S — площадь, занимаемая первой стороной; на ней статистически равномерно расположено средств; k разведчиков второй стороны независимо друг от друга производят случайный поиск этих боевых средств. Тогда — вероятность обнаружения i-м разведчиком каждого боевого средства, где

— интенсивность обнаружения каждого боевого средства одним i-м разведчиком в единицу времени;

ширина полосы обнаружения i-го разведчика; V_Pi —

поисковая скорость i-го разведчика; — условная вероятность обнаружения боевого средства при попадании в его зону обнаружения i-го разведчика (характеризует разрешающую способность аппаратуры разведчика).

Общая вероятность обнаружения каждого боевого средства хотя бы одним разведчиком

или

где

Среднее время обнаружения любого из объектов, находящихся в зоне поиска,

характеристика эффективности средств обнаружения (разведки).

здесь — вероятность уничтожения боевой единицы в разведанном состоянии, — интенсивность перехода боевых единиц из разведанного состояния в неразведанное и состояние поражения (из в и в ).

, — среднее время пребывания боевой единицы в разведанном состоянии; боевые средства могут быть обнаружены или в движении, или на боевой позиции (время каждого периода для данного типа боевых средств можно определить из оперативно-тактических нормативов).

Вероятность, что боевое средство будет обнаружено в движении, , где — среднее время движения, -- среднее время цикла.

Вероятность того, что боевое средство будет обнаружено

на позиции , где — среднее время пребывании на боевой позиции.

Тогда — закон распределения пребывания боевого средства в разведанном состоянии, где —закон распределения времени пребывания боевого средства в разведанном состоянии при обнаружении его в движении, —закон распределения времени пребывания боевого средства в разведанном состоянии при обнаружении его на боевой позиции. зависят от характеристик конкретных типов средств.

Тогда

считают показательным с параметром

где - вероятность, что время прохождения информации в системе управления меньше времени пребывания боевого средства в разведанном состоянии; Р_с — вероятность того, что к моменту поступления заявки в системе боевых средств будет свободное боевое средство, которое может обстрелять разведанную цель; — вероятность поражения цели с учетом рассеивания и закона поражения.

где функция распределения

Общий поток разведанных целей для второй стороны:

где Поток выстрелов, который может обеспечить первая сторона: где — скорострельность боевой единицы первой стороны;

дает верхнюю оценку для

(характеризует переходный режим). Тогда

(при идеальной системе управления, когда

Если поток обнаруженных целей меньше потока потенциально возможных выстрелов, т.е.

то В общем случае —функция времени.

После определения интенсивностей перехода из состояния в состояние решается исходная система дифференциальных уравнений известными методами.

Для случая разнородных группировок рассмотренный подход остается прежним, увеличивается только число дифференциальных уравнений.

Наряду с временной моделью функционирования основных средств может быть построена пространственно-временная модель. В этом случае функционирование основных средств протекает во времени и пространстве.

Для описания боевых действий могут быть использованы также элементы теории игр. Рассмотрим, например, схему последовательных ударов.

Пусть две стороны: противотанковое орудие и танк, вооруженный пушкой, ведут дуэль. Предполагается, что моменты выстрелов любой из сторон известны, любая сторона совершает неограниченное число выстрелов, снаряды достигают цель мгновенно.

Пусть вероятность поражения пушки танка — вероятности поражения танка соответственно 1, 2,….,n выстрелами;

— вероятности поражения пушки

Рассматриваются две ситуации: 1) первой открывает огонь пушка,

2) первым открывает огонь танк.

для 2):

Если то выражения упрощаются:

При ограниченном числе выстрелов n

При построении боевых моделей функционирования необходимо учитывать одну из важнейших характеристик ствольного комплекса — его надежность, поскольку эффективность действия артиллерийской системы существенно зависит от уровня ее надежности.

В приведенных выше примерах это свойство арторудия с целью упрощения моделей не учитывалось.

Для иллюстрации влияния надежности на эффективность в качестве примера может быть рассмотрена модель функционирования артсистемы, характеризующая выполнение боевой задачи зенитным комплексом (ЗК) при отражении налета средств воздушного нападении (СВН).

Для построения модели из множества возможных состоя­ний ЗК выделяются три несовместных состояния: — обстрел СВН,

-- перезаряжание боекомплекта, У₃ — потеря боеспо­собности вследствие противодействия со стороны противника.

Граф состоянии ЗК показан на рис. 3.15.

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний комплекса:

при

Система интегрируется при постоянных значениях и на­чальных условиях ,(0) = 1; Р₂(0) = 0; Р₃(0) = 0. Интенсив­ности перехода из состояния в состояние будут

где - —интенсивность потока СВН, приходящаяся на

один ЗК; — вероятность обстрела цели; — число снарядов, расходуемых при обстреле одной цели; — вели­чина возимого боекомплекта; — среднее значение времени перезаряжания боекомплекта; — среднее значения времени догона войск после перезаряжания боекомплекта; — вероятность поражения цели при условии ее обстрела; — вероятность обнаружения и поражения ЗК, находящегося в состоянии или

— доля ударных СВН, выделенных для поражения зенитных средств.

где — вероятность своевременного обнаружения цели;

— коэффициент готовности ЗК к стрельбе; — вероятность безотказной работы ЗК за время стрельбы; — коэффициент участия комплекса, обусловленный возможными ограничениями на стрельбу в движении; — вероятность пропуска цели из-за занятости ЗК обслуживанием другой цели. Здесь показатели и характеризуют надежность ЗК.

Характеристики надежности артсистемы должны учитываться также при рассмотрении моделей затрат и при анализе стоимостных показателей артсистемы. В качестве примера рассматривается расчет затрат на проведение боевой операции с учетом ремонтопригодности арторудий. Предполагается, что ремонтные средства успевают восстановить часть вышедших из строя орудий, которые выходят из строя как: безвозвратные потери; требующие капитального, среднего и текущего ремонта.

Стоимость выполнения боевой задачи в этом случае

где — количество орудий с повреждениями i-го типа;

-- материальные затраты на восстановление орудий.

_{,где доля орудий с повреждением i-го типа.}

Представление о количественных значениях величин дает табл. 3.10.

Т а б л и ц а 3.10

Поражаемая цель	Характер стрельбы	Распределение потерь
Батарея Батарея	Подавление Уничтожение	0,074 0,196	0,099 0,195	0,336 0,428	0,491 0,181

Для буксируемых орудий

Подытоживая рассмотрение материала о построении и анализе моделей функционирования артсистем, нужно помнить, что подобные модели необходимы для нахождения связи между показателями боевой эффективности, характеристиками затрат и тактико-техническими и конструктивными характеристиками артсистемы. При рассмотрении моделей боевых действий определяется, в частности, расход орудий и снарядов, которые являются необходимыми данными для анализа затрат.

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, СОСТАВЛЯЮЩИХ МОДЕЛЬ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СТВОЛЬНОГО КОМПЛЕКСА

При анализе задач, составляющих модель проектирования ствольных комплексов, были выделены основные: по выбору оптимальных тактико-технических и конструктивных характеристик арторудий и задачи, решение которых предшествует или сопровождает поиск лучшего проектного решения. Учитывая их тесную связь между собой, наряду с основными задачами, традиционно составляющими содержание проектных работ при создании артсистемы, ниже кратко рассматривается ряд военно-технических задач.