5.Дифференциальная форма теоремы Остроградского – Гаусса

В математическом анализе известна формула Гаусса – Остроградского: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от его дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью, - . Суммарный электрический заряд можно выразить через объемную плотность заряда . Отсюда получаем .

56.Уравнения Максвелла, Вектор Пойтинга.

В 1860 – 1865 гг. Максвелл развил теорию электромагнитного поля, вершиной которой является система уравнений Максвелла. Теория максвелла позволила с общей точки зрения охватить огромный круг явлений, начиная от электростатического поля неподвижных зарядов и заканчивая электромагнитной природой света. Теория Максвелла является феноменологической теорией электромагнитного поля. Это означает, что внутренний механизм явлений, происходящих в среде и вызывающих появление электрических и магнитных полей, в теории не рассматривается. Теория максвелла является макроскопической теорией электромагнитного поля. В ней рассматривается электрические и магнитные поля, создаваемые макроскопическими зарядами и токами.

Первое уравнение максвелла – это обобщение закона электромагнитной индукции. Максвелл предположил, что переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле, независимо от того, находится в этой точке проводник или нет. Циркуляция вектора напряженности электрического поля Е по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность S, ограниченную контуром L: .

Электрическое поле (вихревое) порождается переменным магнитным полем.

Но магнитное поле должно порождаться переменным электрическим полем. Максвелл ввел понятие тока смещения. Ток смещения – это особый ток, который создается не направленным движением зарядов, а переменным электрическим полем, но точно таким же, как и ток проводимости, порождает магнитное поле. Плотность тока смещения равна j_см=dD/dt. Сумма тока проводимости и тока смещения называют полным током, его плотность равна . Тогда обобщенный закон полного тока имеет вид: , т.е. циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L равна полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром. Это уравнение можно записать для циркуляции вектора B: . Это второе уравнение максвелла в интегральной форме. Третьим уравнением максвелла является теорема Остроградского – Гаусса для потока вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность S, охватывающую суммарный заряд – объемная плотность заряда, находящегося в объеме V, заключенного внутри замкнутой поверхности S: .

Четвертое уравнение максвелла представляет собой теорему Остроградского – Гаусса для магнитного потока сквозь произвольную поверхность S: поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен нулю. . Это уравнение является следствием того, что свободных электромагнитных зарядов не существует в природе. Уравнения максвелла показывают, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени.

Физическая сущность уравнений Максвелла заключается в том, что электромагнитное поле можно разделить на электрическое и магнитное лишь относительно. Изменяющееся магнитное поле порождает электрическое, а изменяющееся электрическое поле возбуждает магнитное поле, причем эти поля взаимосвязаны – существует единое целое – электромагнитное поле.

Уравнения максвелла в дифференциальной форме:

Дифференциальная форма уравнений Максвелла предполагает, что все величины в пространстве и времени меняются непрерывно.

Вектор Пойтинга - , вектор плотности потока электромагнитной энергии. Назван по имени английского физика Дж. Г. Модуль П. в. равен энергии, переносимой за единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к направлению распространения электромагнитной энергии (т. е. к направлению П. в.). В абсолютной системе eдиниц (Гаусса) П = C/4π [EH], где [EH] — векторное произведение напряжённостей электрического Е и магнитного Н полей, с — скорость света в вакууме; в СИ П = [Eh]. Поток П. в. через замкнутую поверхность, ограничивающую систему заряженных частиц, даёт величину энергии, теряемой системой за единицу времени вследствие излучения электромагнитных волн