Вопрос 4. Способы представления гармонического колебания

ГК можно представить различными способами:

1. Функция времени (временные диаграммы)

2. Векторные диаграммы

3. Комплексные числа

4. Амплитудный и фазовый спектр

1. Временное представление ГК наглядно, однако его использование в задачах анализа ЭЦ затруднительно, так как требует громоздких тригонометрических преобразований

2. Векторное представление – каждому колебанию ставится в соответствие вращающийся вектор определенной длины с заданной начальной фазой

Пример. Пусть имеем колебания токов: и . Определим сумму этих токов: .

– фазовый сдвиг между колебаниями токов i₁ и i₂.

3. Комплексные числа – более удобный метод представления гармонического колебания. Лежит в основе символического метода расчета ЭЦ – метод комплексных амплитуд.

Метод дает выполнить расчет ЭЦ с высокой точностью. КЧ можно представить в различных формах

– запись в показательной форме.

Существует запись в алгебраической форме, для этого используем формулу Эйлера: .

, где ,

Пример. Каждому гармоническому колебанию тока ставим в соответствие комплекс тока:

{ Следует заметить, что комплекс тока мы представили как в показательной, так и в алгебраической форме. Из теории комплексных чисел известно, что если совершается операция сложения (вычитания) комплексное число удобно представлять в алгебраической форме, если совершается операция умножения (деления) комплексное число удобно представлять в показательной форме. В данном примере осуществляется операция сложения двух гармонических колебаний, поэтому комплексы токов удобно представить в алгебраической форме: }

Cуммарный ток:

Последнее выражение представлено в алгебраической форме, его необходимо перевести в показательную. Используем соотношение, которое позволяет комплексное число перевести из алгебраической формы в показательную форму:

,

где – модуль комплексного числа, – аргумент комплексного числа.

Таким образом, суммарный ток в показательной форме можно записать в виде: , где

– модуль (действующее значение тока),

, аргумент (начальная фаза тока)

Полученные комплексы токов удобно представить в виде векторной диаграммы на комплексной плоскости:

4. Спектральные (частотные) характеристики представления ГК – задание амплитудного и фазового спектра колебаний. Амплитудным спектром называется зависимость амплитуды от частоты. Фазовым спектром называется зависимость фазы от частоты.

Пример № 1. Построить амплитудный и фазовый спектр гармонического напряжения вида: . Понятно, что амплитуда напряжения , начальная фаза напряжения , угловая частота .

Вопрос 5. Анализ эц методом комплексных амплитуд

Комплексное число может быть представлено в трех формах: показательной, тригонометрической и алгебраической.

=
	показательная	тригонометрическая	алгебраическая

В основе перехода от одной формы комплексного числа к другой лежит формула Эйлера: .

Здесь: мнимое единичное число

Z – модуль комплексного числа

–аргумент комплексного числа

–действительная часть комплексного числа

–мнимая часть комплексного числа

Метод основан на представлении гармонических функций с помощью комплексных чисел.

Тригонометрическая форма расчета цепей синусоидального тока применима только для простейшей цепи. Для анализа разветвлённых цепей необходим аналитический метод, позволяющий упростить расчет и использовать методы, разработанные для цепей постоянного тока. Таким методом является метод комплексных амплитуд или символический метод. Он основан на том, что синусоидальная функция известной частоты полностью характеризуется двумя вещественными числами: амплитудой и начальной фазой.

При переходе к комплексным амплитудам мы получаем систему алгебраических уравнений. Уравнения имеют такую же форму, как и для резистивных цепей, только все токи и напряжения оказываются комплексными. Это позволяет применять для анализа цепей синусоидального тока все методы расчеты цепей постоянного тока.

Расчет цепи синусоидального тока символическим методом проводится в следующем порядке. На первом этапе гармонические токи и напряжения заменяют комплексными амплитудами и определяют комплексные сопротивления ветвей цепи. Затем составляют систему уравнений для комплексных амплитуд в соответствии с любым методом анализа резистивных цепей. Решая полученным уравнения, находят комплексы искомых токов и напряжений.

Соотношения между коэффициентами различных форм комплексного числа:

Комплексное число может быть изображено вектором на комплексной плоскости, при этом алгебраической форме числа соответствует декартовая система координат а показательной форме числа – полярная система координат (

Каждой точке (вектору) на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, каждому комплексному числу соответствует определенная точка (вектор) на комплексной плоскости.

Синусоидальную функцию можно изобразить вектором, а вектор можно представить комплексным числом, т.о. синусоидальные токи и напряжения, характеризующие установившийся режим цепи переменного тока, могут быть представлены комплексными числами:

При расчете цепей переменного тока возникает необходимость выполнения различного рода математических операций с синусоидальными функциями. При замене синусоидальных функций (оригиналов) комплексными числами (изображениями) соответствующие математические операции выполняются с комплексными числами.

Сложение (вычитание) комплексных чисел производится в АФ

Умножение комплексных чисел может выполняться, как в алгебраической, так и в показательной формах:

Деление комплексных чисел может выполняться как в алгебраической, так и в показательной формах:

Дифференцированию соответствует умножение ее комплексного изображения на множитель , а интегрированию – соответственно деление на тот же коэффициент.

=>

Удобство метода комплексных амплитуд при расчете линейных цепей связано с тем, что линейные операции намного проще проводить с экспонентой, чем с синусом и косинусом. Например, n-кратное дифференцирование по времени приводит просто к умножению комплексной амплитуды на множитель , благодаря чему линейные ДУ переходят в алгебраические.

После проведения расчета в комплексной форме нужно вернуться к реальным физическим переменным, взяв действительную часть от полученного комплексного решения Мнимая часть от даст тоже решение, но записанное в виде где фаза будет другой. Выбор формы записи решения определяется удобством согласования с НУ и не являются принципиальными.

При нелинейных операциях (например, возведение в степень и др.) появляются слагаемые с разными частотами, кратными ω, и метод комплексных амплитуд теряет свои преимущества. В таких случаях, например при расчете мощности, нужно пользоваться реальными переменными.

Модуль комплексного числа – длина радиус-вектора ОМ соответствующей точке комплексной плоскости (расстояние от начальной координаты до точки) Аргумент КЧ – угол между осью абсцисс и радиус-вектором ОМ, изобр. комплексное число Z

Перевод КЧ из показательной формы в алгебраическую:

Используем формулу Эйлера: