3.4. Плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины и ее свойства

Функцию распределения можно определить для систем любых случайных величин, как дискретных, так и непрерывных. Распределение системы непре­рывных величин (т. е. величин, составляющие которых непрерывны), имею­щих важное значение, обычно характеризуется плотностью распределения ве­роятностей.

Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин (X, Y), ко­торая интерпретируется случайной точкой на плоскости ХО Y. Рассмотрим на этой плоскости прямоугольник со сторонами х и у, примыкающий к точке с координатами (х, у) (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Вероятность попадания случайной точ­ки (X, У) в прямоугольник вычисляется по формуле (3.4):

.

Разделим вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник на площадь этого прямоугольника и перейдем к пределу при и :

= (3.7)

Предполагая, что непрерывная и дифференцируемая функция, и применив теорему Лагранжа к числителю правой части равенства (3.7), получим

Р((х Х< х + ) (у Y < у + у) ) = ,

где точка расположена между точками и , а точка η — между и . Тогда

, (3.8)

так как при и а .

Определение 3.3. Функция р(х, у), равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной величины (X, Y) в прямоугольник со сторонами х и у к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямо­угольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения вероятно­стей.

Из выражения (3.8) следует, что во всех точках, где существует смешанная производная.

Геометрически функция z = р(х, у) - поверхность, которую называют поверхностью распределения. Если пересечь поверхность распределения плос­костью, параллельной плоскости хОу, и спроектировать полученное сечение на плоскость XOY , будем иметь кривую, в каждой точке которой плотность рас­пределения постоянна. Такие кривые называют кривыми равной плотности.

Как и в одномерном случае, введем понятие элемента вероятности. Для этого воспользуемся формулой

где при х 0, у 0, которая следует из формулы (3.8) в силу опре­деления предела.

Определение 3.4. Элементом вероятности системы двух случайных вели­чин (X, Y) называется выражение р(х, у) х у, которое определяет вероятность по­падания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами х, у, примыкающий к точке (х,у).

Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограничен­ного сверху поверхностью и опирающегося на элементарный пря­моугольник .

Вычислим теперь вероятность попадания непрерывной двумерной случай­ной величины (X, У) в произвольную область Для этого разобьем область D на элементарных прямоугольников и выберем в каждом из них точки . Как было сказано выше, вероятность попадания случайной точки (X, Y) в приближенно равна элементу вероятности Тогда вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область D приближенно равна сумме вероятностей попадания этой случайной величины в элементарные прямоугольники , т. е. . Переходя к пределу при max , max , получаем

. (3.9)

С геометрической точки зрения, вероятность попадания случайной точки (X, У) в область D численно рав­на объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = р(х,у) и опирающегося на область D .

Из формулы (3.9) получаем вероятность попадания случайной точки в прямоугольнике R: :

P((X,Y) R )= . (3.10)

Так как функция распределения есть вероятность попадания в бесконеч­ный квадрант, то, воспользовавшись выражением (3.10), получим

F(x,y) = (3.11)

Из формул (3.8) и (3.11) следует, что плотность вероятностей и функция распределения однозначно выражаются одна через другую. Следовательно, плотность вероятностей и функция распределения полностью определяют непрерывную случайную величину.

Сформулируем свойства плотности распределения непрерывной случайной величины.

1°.Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) есть

функция неотрицательная: р(х,у) 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, так как плотность распределе­ния — это предел отношения двух неотрицательных величин, то отрицательной она быть не может.

2°. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от плотности вероятностей равен единице:

(x,y)dxdy= 1. (3.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство 2° следует из того, что интеграл (3.12) есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (X, Y) на всю плоскость XOY , а это достоверное событие.

Пример 3.4. Двумерная случайная величина распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, вершины которого имеют координаты: (0; 0), (0; 2) , (2; 0), (2; 2).

Найти плотность вероятностей и функцию распределения .

Р е ш е н и е. Плотность вероятностей двумерной случайной величины , соглас­но условию задачи, можно записать:

Постоянную С определим, воспользовавшись свойством 2 плотности вероятностей:

откуда С = . Таким образом,

Функцию распределения найдем по формуле (3.11):

а) пусть х 0 или 0, тогда

F(x,y)=P((X<x) (Y< y))= ,

так как (ξ, η) = 0 при (ξ , η) R ;

б) пусть 0< 2 и 0 2, тогда

=

=

в) пусть >2 и 0< 2, тогда

=

г) пусть 0 < 2 и , тогда

=

д) пусть х > 2 и у > 2, тогда

=

Таким образом, функция распределения двумерной случайной величины име­ет вид

Пример 3.5. Функция распределения двумерной случайной величины задана выражением

F(x,y) =

Вычислить вероятность P((0 X 1) (0 1)).

Р е ш е н и е. Искомую вероятность определим по формуле (3.9) :

Р((0 Х 1) (0 1)) = dy (x,y)dx,

где плотность вероятностей ( х , у) определим по формуле (3.8):

Тогда =

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение плотности распределения вероятностей .

2. Как вычислить плотность, если задана функция распределения?

3. Сформулируйте определение элемента вероятностей системы двух случайных величин.

4. Перечислите свойства плотности распределения вероятностей.