3.5. Функции распределения, плотности распределения

ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

УСЛОВНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ПЛОТНОСТИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно опре­делить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. В § 3.1 мы показали, что если один из аргументов стремится к , а другой остается переменным, то функция распределения F(x, у) системы случайных величин (X, Y) становится функцией распределения одной из составляющих: = .

Если двумерная случайная величина (X, Y) - непрерывная и ее функция распределения задана плотностью вероятностей р (х, у), т. е.

F(x,y)=

то функции распределения составляющих X и Y определяются по формулам:

(3.13)

= . (3.14)

Дифференцируя выражения (3.13) и (3.14) по соответствующим перемен­ным, согласно теореме о дифференцировании определенного интеграла по пе­ременному верхнему пределу, получим выражение для плотностей распределе­ния вероятностей составляющих X и Y:

(3.15)

. (3.16)

Зная функцию распределения системы, по формулам (3.13) —(3.16) мож­но определить функции распределения отдельных величин, входящих в систе­му. Но обратную задачу в общем случае решить нельзя, т. е., зная только функции распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, не всегда можно найти функцию распределения системы. Нужно знать также зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость мо­жет быть охарактеризована с помощью условных законов распределения.

Определение 3.5. Условным законом распределения или условным распре­делением составляющей X ( ), входящей в систему (X, Y), называется ее рас­пределение, вычисленное при условии, что другая случайная величина Y (X) приняла определенное значение у (х).

Определим выражение для условной функции распределения составляю­щей X ( ) непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) :

.

Для этого введем в рассмотрение два события А = {X < х) и .

Вероятность события АВ ={(Х < х) (у Y < у + у)} на основании тео­ремы умножения двух событий А и В равна:

P((X<x) (y Y<y+ y)}=P(y Y<y+ y)P((X <x y<Y<y+ y)) ,

откуда по формуле (3.10) при условии, что Р(у Y < у + у) > 0, получим

P((X<x (y Y<y + y))=

. (3.17)

Разделив в равенстве (3.17) числитель и знаменатель правой части на у и предположив, что плотность р(х, у) непрерывна в рассматриваемой области, согласно теореме о среднем,

.

Тогда

или

(3.18)

где

Аналогично

F(y = (3.19)

где

Дифференцируя условные функции распределения F(x ) и F(y ) по х и у соответственно, получаем формулы для вычисления условных плотно­стей распределения вероятностей составляющих X и Y непрерывной двумер­ной случайной величины (X, Y) :

откуда следует теорема умножения плотностей вероятностей.

Теорема 3.3. Плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величи­ны, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение:

или .

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (X, Y), состав­ляющие которой определены на одном пространстве элементарных событий, и обозначим их значения:

Пусть случайная величина (X, ) приняла некоторое значение ; при этом дру­гая случайная величина X может принимать любое из значений , …

Тогда условная вероятность события А = , если наблюдалось со­бытие В = , согласно формуле Р(А | В) = , равна

P((X= ) Y = )= .

Обозначая эту вероятность р ( ) получаем

р ( )= .

Совокупность условных вероятностей р(х₁ ), р(х₂ ), ..., р( )…, отвечающих условию Y = называют условным распределением составляю­щей X при Y = дискретной двумерной случайной величины (X, Y).

Аналогично условное распределение составляющей Y при дискрет­ной двумерной случайной величины (X, Y) — это совокупность условных вероятностей p( отвечающих условию ,

где .

Отметим, что сумма вероятностей условного распределения равна едини­це.

Действительно,

Аналогично

Условная функция распределения F(x ) или F(y ) дискретной случай­ной двумерной величины, заданной табл. 3.1, имеет вид:

F(x ) =P((X<x) Y=y))= =

или

=

Пример 3.6. Случайная величина (X, Y) распределена с постоянной плотностью p(х, y) = const = С внутри квадрата R (рис. 3.7),

Рис.3.7

вершины которого имеют координаты (-2; 0), (0; 2), (2; 0) и (0; -2). Определить плотность распределения случайной величины (X, Y) и условные плотности распределения вероятностей р (х | у), р (у ) составляющих.

Р е ш е н и е. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, У) в силу свойства

т.е. p(x,y)=

Определим плотности X и Y двумерной случайной величины (X ,Y):

Аналогично

Компактнее плотности и записать в виде:

Пусть

=

Если , то

=

Вопросы для самопроверки

1. Укажите формулы для вычисления функций распределения и плотностей распределения вероятностей составляющих двумерной случайной величины.

2. Сформулируйте определения условных законов распределения составляющих двумерной случайной величины.

3. По каким формулам вычисляются условные функции распределения, условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины?

126