5.6.Предельные теоремы муавра-лапласа

Центральная предельная теорема справедлива и для дискретных случайных величин при условии, что рассматриваются их функции распределения. Можно доказать, что если дискретные случайные величины удовлетворяют условиям центральной предельной теоремы, то функция распределения их нормированной суммы

при увеличении n неограниченно приближается к нормальной функции распределения с параметрами m=0 и σ=1, т.е. к функции

или .

Частными случаями центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин являются теоремы Муавра—Лапласа.

Известно, что число появлений события А в n независимых испытаниях, вероятность появления которого в каждом испытании равна р, есть дискретная случайная величина X с биномиальным распределением вероятностей. Эту величину X можно представить в виде суммы случайных величин Х_i т.е. , где Х_i — число появлений события А в i-м испытании, . Все случайные величины Х_i имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии , а следовательно, и одинаковые квадратические отклонения .

Тогда нормированная сумма Z_n будет иметь вид .

Теорема 5.12 (локальная). Если 0< р < 1, то равномерно для всех m, удовлетворяющих неравенствам , где а и b - любые заданные постоянные числа, имеет место равенство

.

На практике локальная теорема используется при больших значениях n для вычисления вероятности того, что некоторое событие А наступает m раз в n испытаниях. Эту вероятность находят по приближенной формуле

, (5.9)

где .

Формулу (5.9) применяют и при малых n , когда . Отметим, что функция φ(z) четная, т.е. φ(-z) = φ(z) , поэтому при отрицательных значе­ниях аргумента z используют положительные значения z, абсолютное значение которых совпадает.

Для удобства пользования формулой (5.9) составлены таблицы функции , где (см. прил. 4). График этой функции приведен на рис. 5.1. Кривая у = φ(z) называется кривой Гаусса.

Рис.5.1

Значение теоремы 5.12 заключается в том, что при большом числе испыта­ний n расчет вероятностей по точной биномиальной формуле становится весьма затруднительным и приходится использовать формулу (5.9). Если же речь идет не о вероятности отдельного равенства , а о более важной вероятнос­ти неравенства , то применяют следующую теорему.

Теорема 5.13 (интегральная). Если производится n испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то для любых а и b при n→∞ имеет место соотношение

. (5.10)

Для достаточно больших n используется приближенное равенство

, (5.11)

где .

Докажем его.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть производится n независимых экспериментов, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А , и пусть Х₁ — число появлений события А в первом испытании, Х₂ — число появлений события А во втором испытании, X_i - число появлений события А в i-м испытании. Тогда случайная величина - числу появлений события А в n испытаниях. Случайные величины X_i имеют одинаковые законы распределения с математическим ожиданием M(X_i) = р и дисперсией D(X_i)=pq, . Следовательно, закон распределения нормированной суммы неограниченно приближается к нормальному (см. теорему 5.10) . Тогда вероятность того, что значения случайной величины Z_n принадлежат отрезку [а; b ] , равна:

, (5.12)

где Ф* (х) — нормальная функция распределения.

Кроме того,

.

Поэтому формулу (5.12) можно переписать в виде

где ,

или

где , что и требовалось доказать.

В формуле (5.11) можно использовать и функцию Лапласа:

.

Для удобства пользования формулой (5.11) составлены таблицы функций Ф*(х) и Ф(х).

Функция Лапласа обладает следующими свойствами: .

Используя эту функцию, формулу (5.11) можно записать:

или, так , то

. (5.13)

По формуле (5.13) вычисляется вероятность того, что событие А в n испытаниях появится от а до b раз.

Пример 5.4. Из каждой поставляемой на оптовую базу партии яиц обследуется 60 шт. Если из этих 60 яиц не менее 3 признаются непригодными, то вся партия переводится в низшую категорию сортности. Вычислить вероятность того, что сортность партии из 500 яиц, в которой 5 % яиц непригодны, будет при таких условиях контроля понижена.

Р е ш е н и е. Если 5 % яиц непригодны, то можно допустить, что вероятность отбора непригодного яйца равна 0,05. Число обследуемых яиц составляет 60 шт. Вероятность Р(Х≥3), согласно свойствам функции распределения и теореме 5.13, равна:

.

Таким образом, поставщик, который систематически будет поставлять партии, содержащие 5 % непригодных яиц, должен ожидать, что в 50 % случаев поставляемый им товар будет понижен в сортности.

Замечание. Так как случайная величина , где случайные величины Х_i, имеющие множество значений , независимы, , то теорему 5.13 можно сформулировать следующим образом:

Если m — число появлений события А в n испытаниях Бернулли с вероятностью появления события в отдельном испытании р, то при n→∞ равномерно по х выполняется предельное соотношение

.

Вопросы для самопроверки

1. Какому закону распределения подчиняется случайная величина, характеризующая число появлений события в испытаниях?

2. В каких случаях применяется локальная (интегральная) теорема Муавра-Лапласа?

3. В чем отличие ограничений в теоремах Муавра-Лапласа?