5.7. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 <р < 1). Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа ϵ>0, т.е. вычислим вероятность неравенства
,
(5.14)
которую
обозначим
.
Относительная
частота
(случайная величина X
— число появлений события А
в n
испытаниях, X=m)
имеет асимптотически нормальное
распределение с центром
и
средним квадратическим отклонением
,
так же как и случайная величинах X
(см.
§ 5.5).
Поэтому для вычисления вероятности используем теорему Муавра—Лапласа.
Неравенство
(5.14) равносильно неравенству
или
.
Умножая последнее неравенство на
,
получаем
.
Применяя далее формулу (5.13), имеем
откуда искомая вероятность
.
Пример 5.5. Вероятность выполнения плана дневной выручки магазином равна 0,8 в каждом из 49 дней.
Найти вероятность того, что относительная частота выполнения плана дневной выручки отклонится от ее вероятности не более чем на 4 %.
Р
е ш е н и е. По условию задачи n
= 49; р
= 0,8; q
= 0,2;
=
0,04. Требуется найти вероятность
.
Для этого воспользуемся формулой
.
Подставив, получим
=2
0,258
= 0б516.
Следовательно,
с вероятностью 0,516 можно утверждать,
что частость выполнения плана дневной
выручки магазином отклонится от
не более чем на 4 %.