Вопросы
1. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.
3.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
6. Уравнение прямой в отрезках.
7. Общее уравнение прямой.
8. Расстояние от точки до прямой.
Задачи
82. Для прямых, заданных на рисунках 1- 6, записать общее уравнение прямой на плоскости. Найти координаты нормального вектора.
.
Рис.1 Рис.2
Рис. 3 Рис.4
Рис.5 Рис.6
83. Для прямых, заданных на рисунках 7- 12, записать уравнение прямой на плоскости в виде . Найти угловой коэффициент и точку пересечения прямой с осью ОY.
.
Рис.7 Рис.8
Рис. 9 Рис.10
Рис.11 Рис.12
84.Точки P, Q и R являются вершинами треугольника.
Найти уравнение высоты РН.
а) Р(2, 3), Q(6, 2), Н(5, 6);
б) Р(2, 5), Q(-2, 2), Н(2, 1);
в) Р(-4, -1), Q(-4, -2), Н(-2, 2);
г) Р(3, -4), Q(2, -1), Н(1, -3).
85. Найти расстояние от точки М до прямой k .
а) М(1, 2), k
:
;
б) М(-8, 4), k
:
;
в) М(-3, -5), k
:
;
г) М(0, -2), k
:
.
8.2. Кривые второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости имеет вид:
(9)
Окружностью
называется кривая, точки которой
находятся на равном расстоянии от
некоторой заданной точки
– центра окружности (рис 7).
Рис. 7
Каноническое уравнение окружности имеет вид:
.
(10)
Эллипсом
называется геометрическое место точек,
сумма расстояний от которых до двух
заданных точек
и
– фокусов, есть величина постоянная (рис.
8).
Рис. 8
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
.
(11)
F1 = (c; 0); F2(-c; 0), с – половина расстояния между фокусами; величина a – большая (действительная) полуось эллипса, b – малая (мнимая) полуось. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением: a2 = b2 + c2.
Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
Так как с < a, то е < 1.
Если центр симметрии
эллипса находится не в точке
,
а в точке
,
то каноническое уравнение эллипса
приобретает вид:
.
(12)
Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек и – фокусов, есть величина постоянная (рис. 9).
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
.
(13)
Здесь величина a – большая (действительная) полуось гиперболы, b – малая (мнимая) полуось.
y
M(x, y)
b
r1
r2
x
F1 a F2
c
Рис 9.
Если центр гиперболы находится не в точке , а в точке , то каноническое уравнение гиперболы приобретает вид:
.
(13)
Если ветви гиперболы вытянуты не вдоль оси ОХ (действительной оси), а вдоль оси OY (мнимой оси), то каноническое уравнение гиперболы приобретает вид:
.
(14)
Гипербола
имеет две асимптоты, уравнения которых
Две прямые,
перпендикулярные действительной оси
гиперболы и расположенные симметрично
относительно центра на расстоянии a/e
от него, называются директрисами
гиперболы. Их уравнения:
.
Отношение
называется эксцентриситетом
гиперболы, где с – половина расстояния
между фокусами, а – действительная
полуось.
Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
у
а М(х, у)
О F x
p/2 p/2
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
.
(15)
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы.
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Если вершина параболы находится не в точке , а в точке , то каноническое уравнение параболы приобретает вид:
(16)
Пример. На параболе у 2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p/2 = 4; следовательно:
x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).
СЕМИНАР 11.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА