Операции над множествами

Объединением множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат или А, или В или А и В одновременно, т. е. хотя бы одному из множеств А и В.

Символическая запись

.

О пределение объединения произвольного числа множеств аналогично.

Запись:

а)  и т. д. используется если совокупность содержит небольшое число множеств;

б)  означает: объединение всех множеств А, принадлежащих совокупности S;

в)  используется для случаев, когда ;

г)  используется для случаев, когда – бесконечная совокупность и ее множества занумерованы подряд натуральными числами;

д)  - для случаев, когда набор индексов множества задан множеством J.

Пример:

1)  тогда .

Пересечением множеств А и В (обозначается ) называется множество, состоящее из всех тех и только них элементов, которые принадлежат А и В одновременно.

Символическая запись .

П ересечение произвольной совокупности множеств (в том числе и бесконечной) - определяется аналогично.

Пример:

1)  , тогда .

Как следствие этих определений мы имеем

, ,

и, что менее очевидно,

, .

Разбиением множества U называется система множеств , ,…, , … в которой все попарные пересечения пусты, а их объединение совпадает U, т. е.

= U, .

Класс разбиения (блок разбиения) есть множество такой системы множеств.

Покрытием множества А называется система множеств , ,…, , …, возможно пересекающихся, объединение которых содержит все элементы множества А, т.е.

U

Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не принадлежат В:

.

Разность - операция строго двухместная (т. е. определена для двух множеств) и некоммутативная.

.

Если , то .

Пример:

, тогда .

Дополнением (до U) множества А называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих U):

.

Множество U должно быть задано либо очевидно.

Пример:

 Из определения очевидно, что - множество всех натуральных чисел, больших 100.

Свойства операций над множествами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. , .

Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В ( ) называется множество, состоящее из упорядоченных пар элементов, в которых первый элемент принадлежит множеству А, а второй – множеству В.

Пример: , тогда .

Если в прямое произведение вступают несколько одинаковых множеств, то это можно обозначить , и т. д.

Пример: Множество это множество точек декартовой плоскости.

СЕМИНАР 1.

МНОЖЕСТВА, ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.

ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МНОЖЕСТВ

Вопросы

1. Что такое множество.

2. Как задаются множества

3. Что такое пустое множество

4. Что такое универсальное множество.

5. Как определяется мощность множества.

6. Какое множество называется счетным.

7. Какое множество называется континуальным.

8. Как определяется объединение множеств.

9. Как определяется пересечение множеств.

10. Что такое разность множеств.

11. Из каких элементов состоит множество .

Задачи

1. Укажите смысловые связки естественного языка, соответствующие основным операциям над множествами: дополнение (– НЕ), объединение (сумма) (– ИЛИ), пересечение (произведение) (– И), разность (– БЕЗ).

2. Пусть множество сотрудников некоторого предприятия; множество всех сотрудников старше 40 лет; множество сотрудников, имеющих стаж более 10 лет; множество служащих; множество рабочих. Каков содержательный смысл каждого из нижеследующих множеств? Изобразить графически (с помощью диаграмм Эйлера – Венна) эти множества.

а) ;	д) ;	и) ;
б) ;	е) ;	к)
в) ;	ж) ;	л) ;
г) ;	з)	м) .

3. Заданы два множества: А = {1, 5, 7, 9, 12} и B = {5, 7, 9, 11, 13}. Найти множества ; ; ; и их мощность.

4. По заданным промежуткам А и B на числовой оси определить ; ; ; ; .

а) и ; б) и ;

в) и ; г) и

5. Построить из множества А, В и С результат операций над ними. А={1, 2, 3}, В={1, 3, 5}, С={2, 3, 4, 6}.

а) ; б) .

6. Пусть Множества А, В, С пересекаются в наиболее общем случае. Изобразить на диаграмме Эйлера Результат следующих действий:

а) ; б) ; в) ; г) . 7. Пусть А и В – произвольные подмножества универсального множества U Доказать графически, что:

а) ; в) ;

б) ; г) ;

д) _.

8. Пусть и  промежутки на числовой оси. Найти ; ; ; ; .

9.Определить мощности множеств ; ; _{; ; ; , и построить их, если}

а) ; ; б) ; ;

в) = {(1; 2)}, = {a; b; c; d}; г) = {1; 2; 3}, = {1; 2}.

10. Пусть _{; ;}

_{и . Описать и изобразить графически следующие множества}

а) ; б) _{; в)} ; г) _.