2.3. Модель степенной парной регрессии.
2.3.1. Рассчитаем параметры а и b степенной регрессии:
Расчету параметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения:
и замена переменных:
Y=lny, X=lnx, A=lna
Параметры уравнения:
Y=A+bX
определяются методом наименьших квадратов:
Рассчитываем
таблицу 3.
Определяем b:
Уравнение регрессии:
Построим уравнение регрессии на поле корреляции:
2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции Ryx.
Предварительно
рассчитаем теоретическое значение
для
каждого значения фактора x,
и
,
тогда:
Значение
индекса корреляции Rxy
близко
к 1, следовательно, между переменными
у
и
х наблюдается
очень тесная корреляционная связь
вида:
2.3.3. Оценим качество построенной модели.
Определим индекс детерминации:
R2=0,9362=0,878,
т. е. данная модель объясняет 87,6% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 12,4%.
Качество модели высокое.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации.
Ошибка аппроксимации Аi, i=1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
2.3.4. Определим средний коэффициент эластичности:
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,438%.
2.3.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H0, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.
табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:
фактическое значение F-критерия Фишера:
Таблица 3
-
№
x
y
X
Y
YX
X2
y2
Аi
1
5,3
18,4
1,668
2,912
4,857
2,781
338,56
15,93
2.47
6,12
13,44
2
15,1
22,0
2,715
3,091
8,391
7,370
484,00
25,19
-3,19
10,14
14,48
3
24,2
32,3
3,186
3,475
11,073
10,153
1043,29
30,96
1,34
1,80
4,15
4
7,1
16,4
1,960
2,797
5,483
3,842
268,96
18,10
-1,70
2,89
10,37
5
11,0
22,2
2,398
3,100
7,434
5,750
492,84
21,92
0,28
0,08
1,24
6
8,5
21,7
2,140
3,077
6,586
4,580
470,89
19,58
2,12
4,48
9,75
7
14,5
23,6
2,674
3,161
8,454
7,151
556,96
24,74
-1,14
1,30
4,84
8
10,2
18,5
2,322
2,918
6,776
5,393
342,25
21,21
-2,71
7,35
14,66
9
18,6
26,1
2,923
3,262
9,535
8,545
681,21
27,59
-1,49
2,22
5,71
10
19,7
30,2
2,981
3,408
10,157
8,884
912,04
28,29
1,91
3,63
6,31
11
21,3
28,6
3,059
3,353
10,257
9,356
817,96
29,28
-0,68
0,46
2,37
12
22,1
34,0
3,096
3,526
10,916
9,583
1156,00
29,75
4,25
18,03
12,49
13
4,1
14,2
1,411
2,653
3,744
1,991
201,64
14,23
-0,03
0,00
0,24
14
12,0
22,1
2,485
3,096
7,692
6,175
488,41
22,78
-0,68
0,46
3,06
15
18,3
28,2
2,907
3,339
9,707
8,450
795,24
27,40
0,80
0,65
2,85
сумма
212,0
358,5
37,924
47,170
121,062
100,003
9050,25
358,5
0,00
59,61
105,95
среднее
14,133
23,900
2,528
3,145
8,071
6,667
603,350
23,90
0,00
3,97
7,06
следовательно, гипотеза H0 отвергается, принимается альтернативная гипотеза H1: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.
3. Выбор лучшего уравнения.
Составим таблицу полученных результатов исследования.
Таблица 4
Уравнение |
Коэффициент (индекс) корреляции |
Коэффициент (индекс) детерминации |
Средняя ошибка аппроксимации |
Коэффициент эластичности |
линейное |
0,951 |
0,905 |
6,65 |
0,515 |
полулогагифмическое |
0,915 |
0,838 |
8,74 |
0,414 |
степенное |
0,936 |
0,878 |
7,06 |
0,438 |
Анализируем таблицу и делаем выводы.
Все три уравнения оказались статистически значимыми и надежными, имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий (близкий к 1) коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в допустимых пределах.
При этом характеристики линейной модели указывают, что она несколько лучше полулогарифмической и степенной описывает связь между признаками x и у.
Поэтому в качестве уравнения регрессии выбираем линейную модель.