4. Гироскопы

Гироскопом называют массивное симметричное тело, враща­ющееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симмет­рии. Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка. Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклоне­на к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называе­мое прецессионное движение (прецессию) — его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью ω', причем оказывается: чем больше угловая скорость ω вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии ω'. Такое поведение волчка-гироскопа можно объяснить с помощью уравнения моментов , если только принять, что ω » ω' (это условие, кстати, поясняет, что имеется в виду под бо­льшой угловой скоростью гироскопа).

Момент импульса L прецессирующего волчка относительно точки опо­ры O можно представить в виде суммы момента им­пульса L_ω, обусловленного вращением волчка вокруг своей оси, и некоторого добавочного момента импульса L', вызванно­го прецессией волчка вокруг вертикальной оси,

т. е. L= L_ω + L'

Поскольку ось волчка совпадает с одной из его главных осей, то L_ω = Iω, где I — момент инерции вол­чка относительно этой оси. Кроме того, ясно, что чем меньше угловая скорость прецессии, тем меньше и соответствующий момент L'. При ω » ω' во всех практически интересных случаях L_ω » L', поэтому результирующий момент импульса L почти совпадает с L_ω как по модулю, так и по направлению, — мож­но считать, что

L = Iω

Зная поведение вектора L, мы найдем и характер движения оси волчка-гироскопа.Mомент импульса L относительно точки О (рис.) получает за время dt приращение dL = Mdt,совпадающее по направлению с вектором M- моментом внешних сил относительно той же точки О (в данном случае это мо­мент силы тяжести mg). Из рисунка вид­но, что dL L. В результате вектор L, (а,следовательно, и ось волчка) будет пово­рачиваться вместе с вектором M вокруг вертикали, описывая круговой конус с уг­лом полураствора . Волчок-гироскоп бу­дет прецессировать вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью ω'.

Найдем связь между векторами M, L и ω'. Согласно рисун­ку, модуль приращения вектора L за время dt есть =Lsin · ω'.dt или в векторном виде dL = dt После подстановки этого выражения в dL = Mdt получим

= M

Из этого уравнения видно, что момент силы M определяет угловую скорость прецессии ω' (а не ускорение!). Поэтому мгновенное устранение момента M приводит к мгновенному ис­чезновению и прецессии. В этом отношении можно сказать, что прецессия не обладает инерцией.

Заметим, что момент сил M, действующий на гироскоп, мо­жет иметь любую природу. Для обеспечения регулярной пре­цессии (постоянной угловой скорости ω') важно только, чтобы вектор M, не меняясь по модулю, поворачивался вместе с осью гироскопа.

Пример. Найдем угловую скорость прецессии наклонного волчка мас­сы m, вращающегося с большой угловой скоростью ω вокруг своей оси симметрии, относительно которой момент инерции волчка равен I. Центр масс волчка находится на расстоянии l от точки опоры.

Согласно = M, где — угол между

вертикалью и осью волчка (рисунок). Отсюда

Величина ω' не зависит от угла наклона оси волчка. Кроме того, полученный результат показывает, что ω ' обратно пропорциональна ω, т. е., действительно, чем больше угловая скорость волчка, тем меньше угловая скорость его прецессии.

Гироскопический момент. Рассмот­рим эффект, возникающий при вынуж­денном вращении оси гироскопа. Пусть, например, ось гироскопа укреплена в U-образной подставке, которую мы бу­дем поворачивать вокруг оси 00'.

Если момент импульса L гироскопа направлен вправо, то при таком пово­роте за время dt вектор L получит приращение dL — вектор,направленный за плоскость рисунка.Это озна­чает, что на гироскоп действует момент сил М, совпадающий по направлению с вектором dL. Момент M обусловлен возникнове­нием пары сил F, действующих на ось гироскопа со стороны подставки. Ось же гироскопа в соответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на подставку с силами F'). Эти силы называют гироскопическими; они создают гироскопи­ческий момент M' = M. Заметим, что в данном случае гиро­скоп не обладает способностью противодействовать изменению направления его оси вращения.

Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом. Подобный гироскопический эффект, связанный с возникновением гироскопического давления на подшипники, наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях при по­воротах и качке, у винтовых самолетов при виражах и т. п.

Проследим действие гироско­пического момента на примере ги­роскопа, ось которого вместе с рамкой может свобод­но поворачиваться вокруг гори­зонтальной оси 00' U-образной подставки.

Если подставке сооб­щить вынужденное вращение во­круг вертикальной оси, как пока­зано на рисунке вектором ω', то момент импульса L гироскопа по­лучит за время dt приращение dL₁ — вектор, направленный за рисунок. Это приращение обу­словлено моментом M₁ пары сил, действующих на ось гироско­па со стороны рамки. Гироскопические силы, действующие со стороны оси гироскопа на рамку, вызовут поворот последней вокруг горизонтальной оси 00'. При этом вектор L получит дополнительное приращение dL₂, которое, в свою очередь, обусловлено моментом M₂ пары сил, действующих на ось гиро­скопа со стороны рамки. В результате ось гироскопа будет по­ворачиваться так, что вектор Lбудет стремиться совпасть по направлению с вектором ω'.

Таким образом, за промежуток времени dt момент импульса Lгироскопа получает приращение dL = dL₁+dL₂ = (M₁ + M₂)dt При этом на рамку действует гироскопический момент

M' = -(M₁ + M₂)

Составляющая этого момента M'₁ =-M₁ вызывает поворот рамки вокруг горизонталь ной оси 00', другая составляющая M'₂=-M₂ противодействует повороту всей системы вокруг вертикальной оси (в отличие от предыдущего случая).

Гироскопический эффект лежит в основе разнообразных применений гироскопов: гирокомпас, гироскопический успоко­итель качки корабля, гироскопический стабилизатор и др.